極值點

數學中，極值點（arguments of the maxima/minima，分別縮寫為arg max/arg min或argmax/argmin）是使函數輸出值取得極值的輸入點。^{[note 1]}函數的自變量在定義域上，因變量則在到達域上。

定義

給定任意集合X、全序集Y與函數 $f\colon X\to Y$ ，則某子集 $S\subseteq X$ 上的 $\operatorname {argmax}$ 定義為

\operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in S\}.

若 $S=X$ 或S在語境中明確，則通常省略S，如 ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in X\}.$ 也就是說， $\operatorname {argmax}$ 是點x的集合，使 $f(x)$ 到達函數最大值（若存在）。 $\operatorname {Argmax}$ 可以是空集、單元集，或包含多個元素。

在凸分析與變分分析中， $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ （是廣義實數）的情形時的定義略有不同。^[2]這時，若f等同於S上的 $\infty$ ，則 $\operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing$ （即 $\operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing$ ），否則 $\operatorname {argmax} _{S}f$ 定義如上，這時 $\operatorname {argmax} _{S}f$ 也可以寫成

\operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}

這裏要強調的是，這個涉及 $\sup {}_{S}f$ 的等式只有當f在S上不等同於 $\infty$ 時才成立。^[2]

Arg min

$\operatorname {argmin}$ （或 $\operatorname {arg\,min}$ ）表示極小值點，定義與之類似。例如

{\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}

是使函數值 $f(x)$ 取得極小值的點x。它是 $\operatorname {arg\,max}$ 的補算子。

在 $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ （是廣義實數）的情形時，若f在S上等同於 $-\infty$ ，則 $\operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing$ （即 $\operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing$ ），否則 $\operatorname {argmin} _{S}f$ 定義如上，這時它也滿足

\operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.

^[2]

例子與性質

例如，若 $f(x)=1-|x|$ ，則f只有在 $x=0$ 這一點上取最大值1。因此

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.

$\operatorname {argmax}$ 算子與 $\max$ 不同，給定相同的函數時，後者返回函數極大值，而不是使函數取得極大值的點。也就是說

\max _{x}f(x)

is the element in

\{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.

max可以是空集（這時極大值未定義），這與 $\operatorname {argmax}$ 相同；不同的是 $\operatorname {max}$ 可能不含多個元素。^{[note 2]}例如，取 $f(x)=4x^{2}-x^{4},$ 則 ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},$ 但 ${\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}$ 因為函數在 $\operatorname {argmax}$ 的每個元素上都取相同的值。

等價地，若M是f的極大值，則 $\operatorname {argmax}$ 是極大值的水平集：

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).

可以將其重排，得到簡單的等式^{[note 3]}

f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).

若極大值點只有一個，那麼 $\operatorname {argmax}$ 應被視為一個點，而非點集。例如

{\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5

（而非單元集 $\{5\}$ ），因為 $x(10-x)$ 的極大值25僅在 $x=5$ 時取到。^{[note 4]}而若在多個點上都取得極大值， $\operatorname {argmax}$ 就應被視為點集。例如

{\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}

因為maximum value of $\cos x$ 的極大值1在 $x=0,2\pi ,\ 4\pi$ 時取到。在整條實數線上

{\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},

因此是無限集。

函數不必達到極大值，因此 $\operatorname {argmax}$ 有時是空集。例如 ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing$ ，因為 $x^{3}$ 在實數線上無界。再舉個例子， ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing$ ，雖然 $\arctan$ 有界（ $\pm \pi /2$ ），但由極值定理，閉區間上的連續實值函數必有極大值，因此有非空的 $\operatorname {argmax}$ 。