二次函数

在数学中，二次函数（英语：quadratic function）表示形为 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ （ $a\neq 0\,\!$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数）的多项式函数，其中， $x$ 为自变量^[a]， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于 $y$ 轴的抛物线。^[1]

二次函数表达式 $ax^{2}+bx+c$ 的定义是一个二次多项式，因为 $x$ 的最高幂次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

历史

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。^[b]

11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。^[c]

根

二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\,\!$ 的两个根为： $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 解方程后，我们会得到两个根： $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 。则点 $(x_{1},0)$ 和 $(x_{2},0)$ 就是二次函数与 $x$ 轴的交点。根的类型如下：

设 $\Delta =b^{2}-4ac\,$ 为一元二次方程式的判别式，又记作D。
当 $\Delta >0\,\!$ ，则方程有两个不相等的根，也即与 $x$ 轴有两个不重叠的交点，因为 ${\sqrt {\Delta }}$ 是正数。
当 $\Delta =0\,\!$ ，则方程有两个相等的根，也即与 $x$ 轴有一个切点，因为 ${\sqrt {\Delta }}$ 是零。
当 $\Delta <0\,\!$ ，则方程没有实数根，也即与 $x$ 轴没有交点，因为 ${\sqrt {\Delta }}$ 是共轭复数。

设 $r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 和 $r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ，我们可以把 $ax^{2}+bx+c\,\!$ 因式分解为 $a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ 。

二次函数的形式

二次函数可以表示成以下三种形式：

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ 称为一般形式或多项式形式。
$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ 称为因子形式或交点式，其中 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 是二次方程的两个根， $(r_{1},0)$ , $(r_{2},0)$ 是抛物线与 $x$ 轴的两个交点。
$f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ 称为标准形式或顶点形式， $(h,k)$ 即为此二次函数的顶点。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，或是利用十字交乘法（适用于有理数）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式变换成标准形式有特殊的方法。

$h$ 代表了二次函数的对称轴，因此两根的平均数即为 $h$

$k$ 展开后比较后可得 $k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}$

不通过 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 求 $k$ 及 $h$ 公式：

$h=-{\frac {b}{2a}}$
$k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$ (也作 $k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ )

而在三种形式中皆出现的 $a$ 为此二次函数的领导系数，决定二次函数图像开口的大小与方向。

图像

f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}

f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}

f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}

系数 $a$ 控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。 $|a|$ 越大，开口越小，函数就增长得越快。
系数 $b$ 和 $a$ 控制了抛物线的对称轴（以及顶点的 $x$ 坐标）。
系数 $b$ 控制了抛物线穿过 $y$ 轴时的倾斜度（导数）。
系数 $c$ 控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与 $y$ 轴的交点。

函数	图像	函数变化	对称轴	开口方向	最大（小）值
$y=ax^{2}$	$a>0$	当 $x>0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x<0$ 时， $y$ 随 $x$ 的减小而增大	$y$ 轴或 $x=0$	向上	$0$
$y=ax^{2}$	$a<0$	当 $x>0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x<0$ 时， $y$ 随 $x$ 的减小而减小	$y$ 轴或 $x=0$	向下	$0$
$y=ax^{2}+c$	$a>0$	当 $x>0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x<0$ 时， $y$ 随 $x$ 的减小而增大	$y$ 轴或 $x=0$	向上	$c$
$y=ax^{2}+c$	$a<0$	当 $x>0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x<0$ 时， $y$ 随 $x$ 的减小而减小	$y$ 轴或 $x=0$	向下	$c$
$y=ax^{2}+bx+c$	$a>0$	当 $x>-{\frac {b}{2a}}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x<-{\frac {b}{2a}}$ 时， $y$ 随 $x$ 的减小而增大	$x=-{\frac {b}{2a}}$	向上	$-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$
$y=ax^{2}+bx+c$	$a<0$	当 $x>-{\frac {b}{2a}}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x<-{\frac {b}{2a}}$ 时， $y$ 随 $x$ 的减小而减小	$x=-{\frac {b}{2a}}$	向下	$-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$

x 截距

当函数与 $x$ 轴有两个交点时，设这两个交点分别为 $A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)$ ，由根与系数的关系得出^[d]： $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ 和 $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

{\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}

顶点

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为 $(h,k)\,\!$ 。用配方法，可以把一般形式 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ 化为： $f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ ^[2]^[3]

因此在一般形式中，抛物线的顶点是： $\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$ 如果二次函数是因子形式 $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ ，则两个根的平均数 ${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$ 就是顶点的 $x$ 坐标，因此顶点位于 $\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!$ $a<0\,\!$ 时，顶点也是最大值； $a>0\,\!$ 时，则是最小值。

经过顶点的竖直线 $x=h=-{\frac {b}{2a}}$ 又称为抛物线的对称轴。

最大值和最小值

导数法

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ ，寻找它的极值时，我们必须先求出它的导数： $f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!$ 然后，求出 $f'(x)\,\!$ 的根： $2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}$ 因此， $-{\frac {b}{2a}}$ 是 $f(x)\,\!$ 的 $x\,\!$ 值。现在，为了求出 $y\,\!$ ，我们把 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 代入 $f(x)\,\!$ ： $y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}$ 所以，最大值或最小值的坐标为： $\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$

配方法

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}$

由于实数的二次方皆大于等于0，因此当 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 时， $f(x)$ 有最大或最小值 ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ 。

二次函数的平方根

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果 $a>0\,\!$ ，则方程 $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线 $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ 的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果 $a<0\,\!$ ，则方程 $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线 $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ 的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

二元二次函数

二元二次函数是以下形式的二次多项式： $f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$ 这个函数描述了一个二次曲面。把 $f(x,y)\,\!$ 设为零，则描述了曲面与平面 $z=0\,\!$ 的交线，它是一条圆锥曲线。

最小值/最大值

如果 $4AB-E^{2}<0\,$ ，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 $4AB-E^{2}>0\,$ ，则当 $A>0$ 时函数具有最小值，当 $A<0$ 具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 $(x_{m},y_{m})\,$ 取得，其中： $x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}$ $y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}$ 如果 $4AB-E^{2}=0\,$ 且 $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ ，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。