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理想 (序理论)

在数学分支序理论中，理想是偏序集合的一个特殊子集。尽管这个术语最初演化自抽象代数中环理想概念，它后来被一般化为一个不同的概念。理想对于序理论和格理论中的很多构造是非常重要的。

基本定义

序理论中理想的最一般的定义如下：

偏序集合(P,≤)的非空子集I称为一个理想，若I满足：

  1. I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
  2. I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使x ≤ z，y ≤ z。

理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集I是理想，当且仅当：

  1. I是下闭的。
  2. I对于有限并（上确界）运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

相关概念

  • 理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
  • 术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
  • 真理想：偏序集合(P,≤)的理想I被称为真理想，若I ≠ P。
  • 包含一个给定元素p的最小理想称为主理想，p被称为该理想的主元素。主元素为p的主理想↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。

素理想

一种特殊情况的理想是它的集合论补集是滤子的那些理想，滤子就是逆序的理想。这种理想叫做素理想。还要注意，因为我们要求理想和滤子非空，所有素理想都是真理想。对于格，素理想可以特征化为如下：

格(P,≤)的真理想I是素理想，当且仅当：∀x, y ∈ P，有x ∧ y ∈ I ⇒ x ∈ I或y ∈ I。

很容易发现这个定义实际上等价于声称P - I是滤子（它是在对偶意义上的素滤子）。

对于完全格有完全素理想的概念。它定义为带有额外性质的真理想I，只要某个任意集合A的交（下确界）在I中，A的某个元素也在I中。所以它是扩展上述条件到无穷交的特殊素理想。

素理想的存在一般是不明显的，并且在Zermelo-Fraenkel集合论中经常不能得出满意数量的素理想。这个问题在各种素理想定理中讨论，它们对于很多需要素理想的应用是必须的。

极大理想

一个理想I是极大理想，如果它是真理想并且没有真理想J是严格大于I的集合。类似的，滤子F是极大滤子，如果它是真滤子并且没有严格大于它的真滤子。

当一个偏序集合是分配格的时候，极大理想和滤子必然是素的，而这个陈述的逆命题一般为假。

极大滤子有时叫做超滤子，但是这个术语经常保留给布尔代数，这里的极大滤子（理想）是对于每个布尔代数的元素a，精确的包含元素{a, ¬a}中的一个的滤子（理想）。在布尔代数中，术语“素理想”和“极大理想”是一致的，术语“素滤子”和“极大滤子”也是一致的。

还有另一个有趣的理想的极大性概念：考虑一个理想I和一个滤子F，使得I不相交于F。我们感兴趣于在所有包含 I并且不相交于F的所有理想中极大的一个理想M。在分配格的情况下，这样的一个M总是素理想。这个陈述的证明如下。

证明：假定理想M关于不相交于滤子F是极大性的。假设M不是素理想的一个矛盾，就是说，存在着一对元素a和b使得a b在M中但是a和b都不在M中。考虑对于所有M中的m，m a不在F中的情况。你可以通过采用这种形式的所有二元交的向下闭包构造一个理想N，也就是N = { x | x≤ m a对于某些M中的m}。很容易的察觉N确实是不相交于F的理想，它严格的大于M。但是这矛盾于M的极大性进而M不是素理想的假定。
对于其他情况，假定有某个M中的m带有m a在F中。现在如果在M中任何元素n使n b在F中，你会发现(m n) b和(m n) a都在F中。但因此它们的交在F中，通过分配性，(m n)  (a b)也在F中。在另一方面，这个M的元素的有限交明显的M中，使得假定的n的存在性矛盾于两个集合不相交性。因此M的所有元素n有不在F中的与b的交。因此你可以应用上述与b的构造代替a来获得严格的大于M而不相交于F的一个理想。证明结束。

但是，一般而言是否存在这个意义上极大的任何理想M。然而如果我们在我们的集合论中假定选择公理，那么可以正式对于所有不相交的滤子-理想-对的M的存在。在要考虑的次序是布尔代数的特殊情况下，这个定理叫做布尔素理想定理。它严格的弱于选择公理，而理想的很多集合论应用不需要更多的东西了。

应用

理想和滤子的构造在序理论的很多应用中是非常重要的工具。

历史

理想由Marshall H. Stone首先介入，它的名字起源自抽象代数的环理想。这个术语源于如下事实，利用布尔代数和布尔环的范畴同构，这两个概念实际是一致的。

文献

理想和滤子是序理论的最基本概念。参见序理论和格理论，和布尔素理想定理中的介绍。

一个在线免费专著：

参见

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