Ext函子

在同调代数中，Ext 函子是 Hom 函子的导函子。此函子首见于代数拓扑，但其应用遍布许多领域。

定义

设 ${\mathcal {C}}$ 为有充足内射元的阿贝尔范畴，例如一个环 $R$ 上的左模范畴 $R-\mathbf {Mod}$。固定一对象 $A$，定义函子 $T_{A}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)$，此为左正合函子，故存在右导函子 $R^{\bullet }T_{A}(-)$，记为 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,-)$。当 ${\mathcal {C}}=R-\mathbf {Mod}$ 时，常记之为 $\mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,-)$。

根据定义，取 $B$ 的内射分解

$J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0$

并取 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)$，得到

$\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longleftarrow 0$

去掉首项 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$，最后取上同调群，便得到 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)$。

另一方面，若 ${\mathcal {C}}$ 中也有充足射影元（例如 $R-\mathbf {Mod}$），则可考虑右正合函子 $G_{B}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)$ 及其左导函子 $L_{\bullet }G_{B}(-)$，可证明存在自然同构 $L_{\bullet }G_{B}(A)=\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)$。换言之，对 $A$ 取射影分解：

$P(A)\longrightarrow A\longrightarrow 0$

并取 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)$，得到

$\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P(A),B)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longrightarrow 0$

去掉尾项 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$，其同调群同构于 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)$。

基本性质

• 若 $A$ 是射影对象或 $B$ 是内射对象，则对所有 $i>0$ 有 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{i}(A,B)=0$。
• 反之，若 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,-)=0$，则 $A$ 是射影对象。若 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(-,B)=0$，则 $B$ 是内射对象。
• $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(\bigoplus _{i}A_{i},B)=\coprod _{i}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A_{i},B)$
• $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,\prod _{j}B_{j})=\prod _{j}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B_{j})$
• 根据导函子性质，对每个短正合序列 $0\to B'\to B\to B''\to 0$，有长正合序列：

$\cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A,B'')\to \cdots$

• 承上，若 ${\mathcal {C}}$ 有充足的射影元，则对第一个变数也有长正合序列；换言之，对每个短正合序列 $0\to A'\to A\to A''\to 0$，有长正合序列

$\cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A'',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A'',B)\to \cdots$

谱序列

今设 $A,B$ 为含单位元的环，并固定一环同态 $A\to B$。则由双函子的自然同构

$\mathrm {Hom} _{B}(-,\mathrm {Hom} _{A}(B,-))\simeq \mathrm {Hom} _{A}(-,-)$

导出格罗滕迪克谱序列：对每个 $B$-模 $M$ 及 $A$-模 $N$，有谱序列

$E_{2}^{pq}=\mathrm {Ext} _{B}^{p}(M,\mathrm {Ext} _{A}^{q}(B,N))\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{p+q}(M,N)$

这个关系称为换底。

Ext函子与扩张

Ext 函子得名于它与群扩张的联系。抽象地说，给定两个对象 $A,B\in {\mathcal {C}}$，在扩张

$0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0$

的等价类与 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)$ 之间有一一对应，下将详述。

对任两个扩张

$0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0$ 与

$0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0$

可以构造其 Baer 和 为 $0\rightarrow B\rightarrow C\times _{A}C'/\Delta \rightarrow A\rightarrow 0$，其中 $\Delta :=(1,-1)(C\sqcup _{B}C')$（反对角线）。这在等价类上构成一个群运算，可证明此群自然地同构于 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)$。

对更高阶的扩张，同样可定义等价类；对任两个 n-扩张（n>1）

$0\rightarrow B\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow A\rightarrow 0$ 与

$0\rightarrow B\rightarrow X'_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'_{1}\rightarrow A\rightarrow 0$

此时的 Baer 和定为

$0\rightarrow B\rightarrow Y_{n}\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{2}\oplus X'_{2}\rightarrow X''_{1}\rightarrow A\rightarrow 0$

其中 $A:=X_{1}\times _{A}X_{1}'/\Delta _{1}$（反对角线 $\Delta _{1}$ 之定义同上），$Y_{n}:=X_{n}\sqcup _{B}X_{n}'$。这也在 n-扩张的等价类上构成一个群运算，此群自然同构于 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)$。借此，能在任何阿贝尔范畴上定义 Ext 函子。

重要例子

• 设 $G$ 为群，取环 $R:=\mathbb {Z} G$，可以得到群上同调：$\mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} G}^{\bullet }(\mathbb {Z} ,M)=H^{\bullet }(G,M)$。
• 设 ${\mathcal {C}}$ 为局部赋环空间 $X$ 上的 ${\mathcal {O}}_{X}$-模范畴，可以得到层上同调：$\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=H^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})$。
• 设 ${\mathfrak {g}}$ 为李代数，取环 $R:=U({\mathfrak {g}})$ 为其泛包络代数，可以得到李代数上同调：$\mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(R,M)=H^{\bullet }({\mathfrak {g}},M)$。
• 设 $k$ 为域，$A$ 为 $k$-代数，取环 $R:=A\times A^{\mathrm {op} }$，$A$ 带有自然的 $R$-模结构，此时得到 Hochschild 上同调：$\mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,M)=HH^{\bullet }(A,M)$。

文献

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1