度分布

度分布是圖論和網絡理論中的概念。一個圖（或網絡）由一些頂點（節點）和連接它們的邊（連結）構成。每個頂點（節點）連出的所有邊（連結）的數量就是這個頂點（節點）的度。度分布指的是對一個圖（網絡）中頂點（節點）度數的總體描述。對於隨機圖，度分布指的是圖中頂點度數的概率分布。

英文維基條目網絡的度分布。將每個條目看成頂點，超連結看成邊，則對應的出度/入度的分布如圖所示。

定義

度分布是圖論和（複雜）網絡理論中都存在的概念。首先介紹圖的概念。一個圖$G=G(V,E)$是一個由兩個集合$V$和$E$構成的二元組。集合$V$一般由有限個元素構成：$V=\{v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\}$，其中的元素$v_{i},\,i=1,2,\cdots ,n$被稱為圖的頂點。集合$E$是由$n^{2}$個元素構成的集合：$E=\{e_{i,j}\,\,|\,\,i=1,2,\cdots ,n,\,j=1,2,\cdots ,n\}$。$E$中的每個元素都是一個非負整數。無向圖中，$E$的一個元素$e_{i,j}=k$，表示$V$中的兩個頂點$i$和$j$連有$k$條邊，並且規定$e_{i,j}=e_{j,i}$。有向圖中，$E$的一個元素$e_{i,j}=k$，表示$V$中的頂點$i$有$k$條連向頂點$j$的邊。如果一個圖$G$中所有的$e_{i,j}$都不超過1，並且$\forall i=1,2,\cdots ,n,\,\,e_{i,i}=0$，那麼稱圖$G$是簡單圖。

網絡理論的數學框架建立在圖論上。網絡理論中的網絡其實就是圖論中的圖，但在網絡理論中稱之為網絡，圖的頂點在網絡理論中稱為節點，邊被稱為連結。以下仍舊以圖論中的術語定義度分布。

一個無向圖$G=G(V,E)$中某個頂點$v_{i_{0}}$的度，是指所有與它相連的邊的數目。

$d(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}$

有向圖中，根據連出邊的數目和連入邊的數目，分為出度$d_{out}$和入度$d_{in}$。

$d_{out}(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}$

$d_{in}(v_{i_{0}})=\sum _{j=i_{0}}e_{i,j}$

因此，一個無向圖$G=G(V,E)$中，$d$可以看成將每個頂點映射到一個非負整數的函數：

$d:\,v_{i}\mapsto d(v_{i})\quad i=1,2,\cdots ,n.$

而度分布則是對每個非負整數$m$，考察度數是$m$的頂點在所有頂點中占的比例：

$\forall m\in \mathbb {N} ,\,\,P:m\mapsto P(m)={\frac {\operatorname {Card} \{v_{i}\,|\,d(v_{i})=m\}}{n}},$

因此滿足：

$\sum _{m\in \mathbb {N} }P(m)=1.$

從頂點中等概率地隨機抽取一個頂點，那麼這個頂點度數為$k$的概率就是$P(k)$。

隨機圖頂點的度分布

隨機圖是指由隨機過程產生的圖，即是將給定的頂點之間隨機地連上邊。一個隨機圖$G=G(V,E)$中，每兩個頂點之間的邊的數量$e_{i,j}$是隨機變量。因此任一頂點$v_{i_{0}}$的度$d(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}$也是隨機變量。這個變量的概率分布也稱為隨機圖中的頂點的度分布：

$P_{i}(k)=\mathbb {P} (d(v_{i})=k).$

這個定義與一般的圖的度分布是不一樣的。

在經典的隨機圖模型中，所有頂點的位置都是一致的，沒有特殊的頂點。因此每個頂點的度分布$P_{i}(k)$都是相同的：$\forall i,\,P_{i}(k)=P(k)$。所以，隨機抽取一個頂點，它的度數是$k$的概率就是$P(k)$；$P(k)$越高，表示可能有更多的頂點度數是$k$。當頂點數目很大每個頂點的度分布都是相對獨立的時候，頂點的度分布$P_{i}(k)$近似等於圖中度數是$k$的頂點的比例。

例子

由十個頂點構成的圖

以下給出一些度分布的例子。右圖是由十個頂點構成的無向圖。其中度數是4的頂點有3個，度數是3的頂點有6個，度數是6的頂點有1個，所以度分布是：

$P(m)={\begin{cases}0.3,&m=4\\0.6,&m=3\\0.1,&m=6\\0,&m\neq 3,4,6\end{cases}}$

對於$n$階完全圖，所有的頂點的度數都是$n-1$，所以度分布是：

$P(m)={\begin{cases}1,&m=n-1\\0,&m\neq n-1\end{cases}}$

圖3.隨機網絡的度（a）集中在某個特定值$d_{c}$附近，而無尺度網絡的度分布（b）則遵守冪律分布

如果圖$G$是任意兩頂點之間以概率$0<p<1$連邊的隨機圖，那麼每個頂點都有相同的度分布。

$P(m)={\binom {n-1}{m}}p^{m}(1-p)^{n-1-m}.$

這個分布是泊松分布。我們可以構造每個頂點的度數都是這樣的概率分布的隨機圖模型。這樣當頂點數很大的時候，度數是$k$的頂點的個數占的比例大致是$P(k)$。這個分布的特點是當k很小或很大的時候，$P(k)$都近似於0，$P(k)$的值在一個特定的值處達到高峰，然後回落。也就是說，大多數的頂點的度數在這個特定值左右。然而在真實的複雜網絡中，人們觀察到，度分布並不像這種隨機圖模型顯示的，聚集在某個特定值周圍，而是隨著k增大而以多項式速度遞減，也就是遵從所謂的冪律分布：

$P(k)\propto {\frac {1}{k^{\gamma }}}$

也就是說$P(k)$ 的概率反比於$k$ 的某個冪次，其中$\gamma$是某個正實數。這種網絡特性被稱為無尺度特性。

參考文獻

引用

期刊文章

• Albert, R.; Barabasi, A.-L. Statistical mechanics of complex networks. Reviews of Modern Physics. 2002, 74: 47–97. Bibcode:2002RvMP...74...47A. arXiv:cond-mat/0106096 . doi:10.1103/RevModPhys.74.47. 
• Dorogovtsev, S.; Mendes, J. F. F. Evolution of networks. Advances in Physics. 2002, 51 (4): 1079–1187. Bibcode:2002AdPhy..51.1079D. arXiv:cond-mat/0106144 . doi:10.1080/00018730110112519. 

書籍

• Shlomo Havlin, Reuven Cohen. Complex Networks: Structure, Robustness and Function. Cambridge University Press. 2010 [2013-04-20]. （原始內容存檔於2011-10-04）. 

參見

• 圖的連通性
• 集聚係數
• 複雜網路
• 無尺度網路
• 隨機圖
• 圖論