使用者:A2560862780/圓

在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合叫做 (英語:Circle[註 1][1]

歷史

圓形,是一個看來簡單,實際上是十分奇妙的圖形。古代人最早是從太陽、陰曆十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙礫石和石珠上鑽孔,那些孔有的就很像圓。[2]到了陶器時代,許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。當人們開始紡線,又制出了圓形的石紡錘陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾著走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候,就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走。

約在6000年前,美索不達米亞人,做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前,人們將圓的木盤固定在木架下,這就成了最初的車子。 古代埃及人認為:圓,是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前我國的墨子(約公元前468-前376年)才給圓下了一個定義:圓,一中同長也。意思是說:圓有一個圓心,圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾里得(約公元前330-前275年)給圓下定義要早100年。

性質

解析幾何

  • 直角坐標系中的定義: ,其中a是半徑, 是圓心坐標。
  • 參數方程的定義:  
  • 極坐標方程的定義(圓心在原點): 

圓心

是在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點叫做圓的圓心(通常用 表示)。[3]

圓周上任何兩點相連的線段稱為圓的(英語:chord)。如圖2, 分別為圓上任意兩點,那麼 就是圓的

上任意兩間的部分叫做(英語:arc),通常用符號 表示。弧分為半圓優弧劣弧三種。[3]

直徑、半徑

直徑:經過圓心的叫做直徑(用 表示)。[1]
半徑(英語:radius):在圓中,連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑,半徑用字母 表示。

 

切線

假如一條直線與圓相交僅有一個交點,那麼稱這條直線是這個圓的切線,與圓相交的叫做切點。如[1]如下圖,直線 與圓只有一個交點 ,那麼 就是圓的切線。 過圓上一點的切線:設該點為 圓的方程為 則該點和圓的切線方程為: 

  • 性質定理:圓的切線垂直於經過切點的半徑.
  • 推論1:經過圓心且垂直於切線直線必經過切點.
  • 推論2:經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。

割線

一條直線與一條弧線有兩個公共點,這條直線是這條曲線的割線(英語:Secant Theorem)。[1]如圖,直線 與圓有兩個公共點,那麼直線 就是圓的割線。

 
θ 的正割是從 0Q的距離.

周長

圓的一周的長度稱為圓的周長(記作 )。圓的周長與半徑的關係是:

  

其中 圓周率

面積

圓的面積與半徑的關係是: 

對稱性

既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,圓的對稱軸為經過圓心 的任意直線,圓的對稱中心為圓心 [3]

圓心角、圓周角

 
圖2:弦、圓周角、圓心角

圓心角:頂點在圓心的叫圓心角,圓心角的度數等於它所對的弧的度數,公式表示為 [註 2][1]如右圖, 為圓的圓心,那麼 為圓心角。
圓周角:頂點在圓周上,兩邊和圓相交的角叫圓周角。如右圖, 的頂點 在圓周上, 的兩邊 分別交在圓周上,那麼 就是圓周角。

圓心角定理

同圓或等圓中,相等的圓心角所對的相等,所對的相等,弦心距[註 3]相等,此定理也稱「一推三定理」。[3]

圓周角定理

圓周角定理:同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的的一半。[3]
如上圖, 為圓心, 分別為圓周上的,那麼: 

證明: 
 
 
 
 
即: 


圓周角定理的推論:
推論 :同弧或等所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周所對的弧是等弧。
推論 :半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧的半圓,所對的弦是直徑。
推論 :若三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形

垂徑定理

 
垂徑定理示意圖

垂徑定理:垂直於的直徑平分弦且平分弦所對的[3]如圖,直徑  ,那麼 平分 且平分 

  • 推論1:(1)平分[註 4]的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條
(2)垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧。
(3)平分所對的一條的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條
  • 推論2:圓的兩條平行所夾的弧相等。

兩圓位置關係

 

兩個不同大小的圓(半徑分別為  ,圓心距為 ,其中 )之間的可能關係如下:

  1.  :兩圓不相交(內含),互為同心圓
  2.  :兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
  3.  :兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
  4.  :兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
  5.  :兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
  6.  :兩圓不相交(外離),有4條共同切線。

圓系方程

數學中,符合特定條件的構成一個集合,稱為圓系,描述圓系的方程即為圓系方程。

類型

  • 過兩圓  交點的圓系方程為:
    •  +λ( )=0(λ≠-1)
  • 過直線 與圓 的交點為:
    •  +λ( )=0
  • 過兩圓  交點的直線方程為:
    •  

其他定義

  • 橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和為常數的點之軌跡,橢圓的形狀可以用離心率來表示;圓可以看作是一種特殊的橢圓,即當橢圓的兩個焦點重合,離心率 的情況。
  • 三維空間球面被設定為是在 空間中與一個定點距離為 的所有的集合,此處r是一個正的實數,稱為半徑,固定的點稱為球心中心,並且不屬於球面的範圍。 是球的特例,稱為單位球

在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合,不過隨著測度的不同,定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓,實際上的形狀(在一般的觀點中)會是一個正方形。

相關的立體圖形

切面為圓的三維形狀有:

圓和其他平面形狀

當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面積最大(參見等周定理)。

圓的問題

參考資料

注釋

資料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 高中数学必修1. 北京: 人民教育出版社. 2014. ISBN 9787107177057. 
  2. ^ 历史. 北京: 人民教育出版社. 2014. ISBN 9787107155598. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 数学. 北京: 北京師範大學出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 

參見


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