格罗莫夫–威滕不变量

辛拓扑和代数几何中，格罗莫夫–威滕（GW）不变量是有理数，某些情形下可计算在给定辛流形中符合给定条件的伪全纯曲线。GW不变量可打包为适当空间中的同调或上同调类，或量子上同调的上积。这些不变量可用于区分辛流形（以前无法区分），在闭IIA型弦论中起着至关重要的作用。它们得名于米哈伊尔·格罗莫夫和爱德华·威滕。

格罗莫夫-威滕不变量的严格数学定义冗长而困难，在稳定映射条目中单独讨论。本文的重点在直观解释不变量的含义、计算方法及其重要性。

定义

考虑：

X：2k维闭辛流形；
A：X中的2维同调类；
g：非负整数；
n：非负整数。

现在定义与4元组 $(X,\ A,\ g,\ n)$ 相关的格罗莫夫–威滕不变量。令 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ 为亏格为g、有n个标记点的曲线的德利涅-芒福德模空间，令 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ 表示对X上某与其辛形式相容的殆复结构J，到X的A类稳定映射的模空间。 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ 的元素具有如下形式：

(C,x_{1},\ldots ,x_{n},f),

其中C是（不必稳定）曲线，有n个标记点 $x_{1},\ \dots ,\ x_{n}$ 与伪全纯的 $f:\ C\to X$ 。模空间的实维度为

d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.

令

\mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}

表示曲线的稳定化。置

Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},

具有实维度 $6g-6+2(k+1)n$ 。有求值映射

{\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}

求值映射将 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ 的基本类送到Y中的d维有理同调类，记作

GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).

从某种意义上说，这个同调类就是对于X，数据为g、n、A的格罗莫夫–威滕不变量，是辛流形X的辛同痕类的不变量。

要从几何角度解释格罗莫夫–威滕不变量，令β为 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ 中的同调类， $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ 为X中的同调类，使 $\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ 的余维之和为d。根据克奈公式，这些都会在Y中产生同调类。置

GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),

其中 $\cdot$ 表示Y的有理同调中的交积。这是一个有理数，即给定类的格罗莫夫–威滕不变量。这个数字给出了伪全纯曲线（A类中，亏格为g，域位于德利涅-芒福德空间的β部分，有n个标记点映射到表示 $\alpha _{i}$ 的循环）的“虚拟”计数。

简单说，GW不变量就是计算有多少条曲线同X的n个选定子流形相交。然而，由于计数的“虚拟”性，它不一定是自然数。因为稳定映射的空间是轨形，其各向同性点可为不变量贡献非整数值。

这种构造有多种变体，如用上同调取代同调，用积分取代交，从德利涅-芒福德空间拉回的陈类也被积分，等等。

计算技巧

格罗莫夫–威滕不变量通常很难计算。虽然它们是为任何一般殆复结构J定义的，其中 ${\bar {\partial }}_{j,J}$ 算子的线性化D是满射，但实际上必须针对特定的选定J计算。事实上，计算通常是在凯勒流形上利用代数几何技术进行的。

然而，特殊的J可能诱导非满射的D，从而使得伪全纯曲线的模空间大于预期。粗略地说，我们可以通过从D的余核形成向量丛（称作阻碍丛，obstruction bundle），然后将GW不变量变为阻碍丛的欧拉类的积分，以纠正这种影响。要精确化这一思想，需要利用仓西结构进行大量技术论证。

主要的计算技术是局部化，适用于X是环面的状况，即它是由复环面作用的，或至少是局部环面的。然后，我们可以利用阿蒂亚-博特定点定理将GW不变量的计算简化（局部化）为对作用定点轨迹的积分。

另一种手法是利用辛技术，将X同其他空间联系起来，其GW不变量更容易计算。当然，必须首先了解不变量在辛技术中的表现。这时，我们常用更复杂的相对GW不变量，即沿着X的实维度为2的辛子流形，计算满足切线条件的曲线。

在物理学中的应用

GW不变量在弦论中很热门。弦论试图统一广义相对论与量子力学。其中万事万物都是由微小的弦构成的。弦在时空中穿行时，会描绘出一个面，称作弦的世界面。不幸的是，这种参数化面的模空间是无穷维的（至少先验地是）；其上没有已知的适当测度，于是这种理论的路径积分表述缺乏严格定义。

在称作闭A模型的变体中，情况有所改善。这里有6个时空维度，构成了辛流形，而可证明世界面必由伪全纯曲线参数化，其模空间是有限维的。作为模空间上的积分，GW不变量就是这种理论的路径积分。特别是，A模型在亏格为g时的自由能是亏格为g的GW不变量的母函数。

另见

参考文献

McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar. J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology. American Mathematical Society colloquium publications. 2004. ISBN 0-8218-3485-1. An analytically flavoured overview of Gromov–Witten invariants and quantum cohomology for symplectic manifolds, very technically complete
Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias. Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. Thomas, C. B. (编). Contact and Symplectic Geometry . Cambridge University Press. 1996: 171–200. ISBN 0-521-57086-7.

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