三角形内角的嵌入不等式是平面几何中的一个不等式。在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出,若A、B、C是一个三角形的三个内角,则对任意实数 x、y、z,有:
[1]
首先发现此不等式的是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆。他在1867年出版的《数学问题集》一书中对嵌入不等式做出介绍[2]。
证明
推广与加强
从以上证明中可以看到,证明成立的关键是 ,所以可以将条件中的“A、B、C是三角形内角”推广到“ ”。而如果 ,则 ,展开恒成立的不等式 便可得到不等式
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这个不等式和三角形内角的嵌入不等式可以合写成一个不等式[1]:
- 如果 ,那么对任意实数x、y、z,都有
由于三角形内角的嵌入不等式具有高度对称性,在应用中也会写成对称下标不等式:
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或轮换下标不等式:
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设 是三角形内角,对后一个不等式做变量代换
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可以得到不等式[3]:
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由这个不等式可以推出嵌入不等式的另一种推广:
- 设 满足 , 满足 ,则有:
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其中 。而当 的时候,上面的不等式转化为:
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嵌入不等式是此不等式在 时的特例[3]。
应用
三角形内角的嵌入不等式将代数不等式和几何不等式结合起来[3]。运用嵌入不等式可以解决许多几何不等式[1],例如以下是运用嵌入不等式证明埃尔德什-莫德尔不等式。
(红)小于 (蓝).
埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式,其声称:对于任何三角形和其内部的一点O,点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。下设这个三角形顶点为 ,点O到这三个顶点的距离分别是 ,到它们对边的距离分别是 ,则埃尔德什-莫德尔不等式写作:
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在嵌入不等式中令 , 则可得到:
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另一方面,计算三角形 在O点发出的角平分线长度 ,可得
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同时作为角平分线,其长度必然大于O点到 的距离 ,所以
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因此
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等价形式
设 , , ,则有
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等号成立当且仅当 。[5][6][7]
证明
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推论
对于 ,令 , , ,其中 ,即得
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等号成立当且仅当 ,即 。
一般形式
若非零实数 满足 ,则对任意实数 恒有
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证明:
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参见
参考来源