三角形内角的嵌入不等式

三角形内角的嵌入不等式平面几何中的一个不等式。在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出,若ABC是一个三角形的三个内角,则对任意实数 x、y、z,有:

[1]

首先发现此不等式的是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆英语Joseph Wolstenholme。他在1867年出版的《数学问题集》一书中对嵌入不等式做出介绍[2]

证明

注意到不等式:  对所有的实数 x、y、z以及任意角ABC成立,将其左侧展开,就得到:

 
 
 

由于ABC是三角形内角, ,因此上式等价于

 

从证明中可推出,不等式中等号成立当且仅当  同时成立。也就是说,要么 ,要么 

推广与加强

从以上证明中可以看到,证明成立的关键是 ,所以可以将条件中的“ABC是三角形内角”推广到“ ”。而如果  ,则 ,展开恒成立的不等式  便可得到不等式

 

这个不等式和三角形内角的嵌入不等式可以合写成一个不等式[1]

如果 ,那么对任意实数x、y、z,都有 

由于三角形内角的嵌入不等式具有高度对称性,在应用中也会写成对称下标不等式:

 

或轮换下标不等式:

 

 是三角形内角,对后一个不等式做变量代换

 

可以得到不等式[3]

 

由这个不等式可以推出嵌入不等式的另一种推广:

 满足   满足  ,则有:
 

其中 。而当 的时候,上面的不等式转化为:

 

嵌入不等式是此不等式在 时的特例[3]

应用

三角形内角的嵌入不等式将代数不等式和几何不等式结合起来[3]。运用嵌入不等式可以解决许多几何不等式[1],例如以下是运用嵌入不等式证明埃尔德什-莫德尔不等式

 
 (红)小于 (蓝).

埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式,其声称:对于任何三角形和其内部的一点O,点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。下设这个三角形顶点 ,点O到这三个顶点的距离分别是 ,到它们对边的距离分别是 ,则埃尔德什-莫德尔不等式写作:

 

在嵌入不等式中令  则可得到:

 

另一方面,计算三角形 在O点发出的角平分线长度 ,可得

 

同时作为角平分线,其长度必然大于O点到 的距离 ,所以

 
 

因此

 [4]

等价形式

 ,  ,  ,则有

 

等号成立当且仅当  [5][6][7]

证明

 

推论

对于  ,令  ,  ,  ,其中  ,即得

 

等号成立当且仅当  ,即  

一般形式

若非零实数   满足  ,则对任意实数   恒有

 

证明:

 

参见

参考来源

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 朱华伟. 嵌入不等式——数学竞赛命题的一个宝藏. 中等数学. 2010年, (第1期): 第14–17页. 
  2. ^ J. Wolstenholme, A Book of Mathematical Problems, Cambridge, London, 1867
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Shanhe Wu, Lokenath Debnath. Generalization of the Wolstenholme cyclic inequality and its application. Computers & Mathematics with Applications. 2007年1月, 53 (1): 104–114 [2012-06-01]. (原始内容存档于2018-11-06). 
  4. ^ Marian Dinca. A Simple Proof Of The Erdos-Mordell Inequality For Polygons In N-Dimensional Spaces (PDF). Articole si Note Matematice. [2012-06-01]. (原始内容存档 (PDF)于2016-08-15). 
  5. ^ 存档副本. [2023-04-28]. (原始内容存档于2023-04-28). 
  6. ^ 存档副本. [2023-04-28]. (原始内容存档于2023-04-28). 
  7. ^ 存档副本. [2023-04-28]. (原始内容存档于2023-04-28).