三角形內角的嵌入不等式是平面幾何中的一個不等式。在不至於引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出,若A、B、C是一個三角形的三個內角,則對任意實數 x、y、z,有:
[1]
首先發現此不等式的是英國數學家約瑟夫·沃爾斯滕霍姆。他在1867年出版的《數學問題集》一書中對嵌入不等式做出介紹[2]。
證明
推廣與加強
從以上證明中可以看到,證明成立的關鍵是 ,所以可以將條件中的「A、B、C是三角形內角」推廣到「 」。而如果 ,則 ,展開恆成立的不等式 便可得到不等式
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這個不等式和三角形內角的嵌入不等式可以合寫成一個不等式[1]:
- 如果 ,那麼對任意實數x、y、z,都有
由於三角形內角的嵌入不等式具有高度對稱性,在應用中也會寫成對稱下標不等式:
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或輪換下標不等式:
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設 是三角形內角,對後一個不等式做變量代換
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可以得到不等式[3]:
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由這個不等式可以推出嵌入不等式的另一種推廣:
- 設 滿足 , 滿足 ,則有:
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其中 。而當 的時候,上面的不等式轉化為:
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嵌入不等式是此不等式在 時的特例[3]。
應用
三角形內角的嵌入不等式將代數不等式和幾何不等式結合起來[3]。運用嵌入不等式可以解決許多幾何不等式[1],例如以下是運用嵌入不等式證明埃爾德什-莫德爾不等式。
(紅)小於 (藍).
埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發現的不等式,其聲稱:對於任何三角形和其內部的一點O,點O到三角形三條邊的距離之和總是小於或等於點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。下設這個三角形頂點為 ,點O到這三個頂點的距離分別是 ,到它們對邊的距離分別是 ,則埃爾德什-莫德爾不等式寫作:
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在嵌入不等式中令 , 則可得到:
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另一方面,計算三角形 在O點發出的角平分線長度 ,可得
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同時作為角平分線,其長度必然大於O點到 的距離 ,所以
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因此
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等價形式
設 , , ,則有
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等號成立當且僅當 。[5][6][7]
證明
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推論
對於 ,令 , , ,其中 ,即得
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等號成立當且僅當 ,即 。
一般形式
若非零實數 滿足 ,則對任意實數 恆有
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證明:
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參見
參考來源