中心流形

中心流形(center manifold)是動力系統數學理論的一部份,最早是用此概念來判斷退化平衡點的穩定性。之後這個概念成為数学模型的建構基礎。

彈跳的球,若不考慮球在反彈時的形變,其運動可以以牛頓運動定律來描述

若將球往上拋。可根據牛顿运动定律預測球的運動,方式是求解有其位置以及速度的微分方程,但在球反彈英语Bouncing ball時的行為就無法用牛顿运动定律來描述。在球反彈時,球會有形變,就無法用剛體的牛顿运动定律來預測系統的演進,需要用连续介质力学來描述組成球的所有粒子在形變前後的行為。 在反彈後,球的形變會快速消失,球繼續依循牛顿运动定律。 若將球視為是由許多互相影響的成份所組成的系統,牛頓運動定律對球的描述,只以位置、速度及旋轉方式呈現,即為變形球的中心流形 [1]。若有一系統是由許多互相影響成份所組成,而其影響效應會快速衰減,可以用中心流形,以較簡單的方式來描述系統。

中心流形在分岔理論中有重要的地位,因為系統在中心流形的位置會出現特殊的行為,在多尺度物理學英语multiscale mathematics中也很重要,微尺度的長時間動態常常會受到相對簡單、變數尺度較大的中心流形吸引。

定義

 
系統   鞍點平衡點的中心流形(紅色)及不穩定中心流形(綠色)
 
在2D相圖上亂數選擇的點,這些點的動態會指數收斂為較慢(非指數)的動態。中心流形動態的研究可以判斷在原點的非雙曲性不動點的穩定性

动力系统的中心流形是以系統的平衡點為基礎,以球為例,就是球靜止,沒有變形的狀態。 平衡點的中心流形包括了鄰近的軌跡英语Orbit (dynamics)中,沒有快速指数衰减,也沒有快速指數增長的的軌跡。若以球來說,中心流形中包括了球的移動及自旋運動,但不包括球的形變(因為形變會由於阻尼力而快速衰減)。

在數學上,研究动力系统平衡點的第一步是線性化,之後計算其特征值和特征向量。 其對應特徵值有負實數的特徵向量(若有廣義特徵向量英语generalized eigenvectors的話,也包括在內)可以組成的特徵空間。 對應特徵值有正實數的(廣義)特徵向量可以組成不穩定的特徵空間。 若平衡點為雙曲平衡點英语hyperbolic equilibrium point(所有線性化後的特徵值,實部都不為0)。Hartman-Grobman定理英语Hartman-Grobman theorem可以保證在平衡點附近的動態可以完全用特徵值及特徵向量來描述。

若平衡點的特徵值中,有特徵值的實部是零,則是對應的(廣義)特徵向量會組成「中心特徵空間」,以球為例,就是球在不受力下刚体动力学的整個集合[2]。 若不只考慮線性化後的系統,將動力系統加上非線性或是外力的微擾,中心特徵空間會變形到鄰近的中心流形 [3]。 若特徵值不只是實部為零,而是特徵值的複數值為零(如球的例子),對應的特徵空間可以更準確的對應慢流形英语slow manifold。 中心(慢)流形的行為無法由線性化來判定,因此不容易建構。

類似的道理,在穩定特徵空間或不穩定特徵空間加上非線性或是外力的微擾,會讓系統變形到鄰近的穩定流形不穩定流形 [4]。 這三種流形是不變流形中的三類例子。

 动力系统,其平衡点 ,則系統在平衡點附近的線性化為

 

雅可比矩阵  可以定義以下的三種子空間:

  • 穩定子空間,是由特徵值實部小於0的廣義特徵向量英语generalized eigenvectors所生成。
  • 不穩定子空間,是由特徵值實部大於0的廣義特徵向量所生成。
  • 中心子空間,是由特徵值實部等於0的廣義特徵向量所生成。

依照應用的不同,也會分類以下的子空間,例如中心穩定、中心不穩定、次中心、或是快速子空間。 這些子空間都是線性化方程的不变子空间

對應線性系統,非線性系統會有慢流形,每一種都會包括一種非線性系統的軌跡集合[5]

  • 和穩定子空間相切,有相同維度的不變流形是穩定流形.
  • 不穩定流形和不穩定子空間相切,也有相同維度。
  • 中心流形和中心子空間相切,有相同維度。若中心子空間的特徵值都為0,此中心流形會稱為慢流形。

中心流形的相關定理

中心流形存在定理(center manifold existence theorem)內容是:若函數   次的連續可微),則針對每一個平衡點,都存在一個有限大小的鄰域,使得以下三項敘述,至少會有一項成立[6]

  • 唯一的 穩定流形
  • 唯一的 不穩定流形
  • (可能不唯一的) 中心流形

像非線性的座標轉換為正則型式英语normal form (bifurcation theory)就可以清楚的分出這三種流形[7]。有網頁服務可以針對有限維的系統進行必要的電腦計算[8]

若在那些沒有不穩定流形的例子中,中心流形一般會和建模有關。 中心流形出現定理提到可以選擇鄰域,使系統的所有解維持在會以指數收斂到中心流形上某個解 的範圍內。 也就是說   會以某速率值 進行 [9]。 此定理也確保針對多許多的初始條件,整個系統的解會快速指數收斂到比較低維度的中心流形上。

第三個定理是近似定理,若針對某不變流形(例如 ),有近似表示式滿足系統的微分方程,當 時,其residuals為 ,則不變流形可以用 來近似,其誤差也是同一量級的,例如是 

另一種反向分析

上述的理論都是針對特定問題,想找到不變流形的性質。特別是建構一個流形來近似系統的不變流形。 另一種方式是針對給定系統,找到一個近似的系統,建構此系統的不變流形,這稱為反向分析。 目的是將理論應用到範圍更廣的系統中,並估計誤差以及有效域的大小 [10] [11]

此方法和數值建模中公認的反向誤差分析英语backward error analysis完全相同。

中心流形以及非線性系統的分析

平衡點的穩定性和其流形的「穩定性」有關,中心流形是否存在的問題也帶來了有關中心流形的系統動力學問題,這可以由中心流形約化(center manifold reduction)來分析,再配合系統參數μ,可以引到分岔理論的概念。也有些網站可以進行相關計算[12][13][14][15]

例子

簡單的例子

考慮以下系統

 

在原點的不穩定流形為y軸,穩定流形為平凡集{(0, 0)}。不在穩定流形上的任何軌跡都滿足以下形式的方程式 ,其中A為實數的常。可以推得針對任意的A,可以創建中心流形,方式是將 x > 0的部份,和x為非正值的X軸連接。而且,所有的中心流形都有潛在的非唯一性,不過非唯一性只會發生在變數為複數的情形下。

时滞微分方程

另一個例子可以用中心流形來為霍普夫分岔建模,霍普夫分岔是發生在以下的时滞微分方程

 

參數 的情形。嚴格來說,因為有时滞,微分方程會變成無限維。 不過可以用以下的方式來近似时滞,讓系統仍為有限維度。

定義  以及適當的时滞變數  ,利用其中間值   .

在接近臨界值的參數 时滞微分方程可以用以下系統來近似

 

透過網頁服務,可以找到相量  以及其共軛 ,中心流形為

 

中心流形的演進為

 

從此演進可以看出,系統在 時,在原點是線性的不穩定,但三次非線性使其有穩定的極限環,就像經典霍普夫分岔的結果一樣。

參考資料

  1. ^ Muncaster, R.G. Invariant Manifolds In Mechanics II: Zero-dimensional Elastic Bodies With Directors. Arch. Rat. Mech. Anal. 1983, 84 (4): 375–392. Bibcode:1983ArRMA..84..375M. doi:10.1007/BF00250588. 
  2. ^ Roberts, A.J. The invariant manifold of beam deformations. Part 1: the simple circular rod. J. Elas. 1993, 30: 1–54. doi:10.1007/BF00041769. 
  3. ^ Carr, Jack. Applications of centre manifold theory. Applied Mathematical Sciences 35. Springer-Verlag. 1981. ISBN 978-0-387-90577-8. doi:10.1007/978-1-4612-5929-9. 
  4. ^ Kelley, A. The stable, center-stable, center, center-unstable and unstable manifolds. J. Differential Equations. 1967, 3 (4): 546–570. Bibcode:1967JDE.....3..546K. doi:10.1016/0022-0396(67)90016-2 . 
  5. ^ Guckenheimer & Holmes (1997), Section 3.2
  6. ^ Guckenheimer & Holmes (1997), Theorem 3.2.1
  7. ^ Murdock, James. Normal forms and unfoldings for local dynamical systems. Springer-Verlag. 2003. 
  8. ^ 存档副本. [2020-04-20]. (原始内容存档于2013-11-09). 
  9. ^ Iooss, G.; Adelmeyer, M. Topics in Bifurcation Theory. 1992: 7. 
  10. ^ Roberts, A.J. Backwards theory supports modelling via invariant manifolds for non-autonomous dynamical systems. 2019. arXiv:1804.06998  [math.DS]. 
  11. ^ Hochs, Peter; Roberts, A.J. Normal forms and invariant manifolds for nonlinear, non-autonomous PDEs, viewed as ODEs in infinite dimensions. J. Differential Equations. 2019, 267 (12): 7263–7312. Bibcode:2019JDE...267.7263H. arXiv:1906.04420 . doi:10.1016/j.jde.2019.07.021. 
  12. ^ 存档副本. [2020-04-20]. (原始内容存档于2020-03-21). 
  13. ^ A.J. Roberts. Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems. Physica A. 2008, 387 (1): 12–38. Bibcode:2008PhyA..387...12R. arXiv:math/0701623 . doi:10.1016/j.physa.2007.08.023. 
  14. ^ 存档副本. [2020-04-20]. (原始内容存档于2020-03-21). 
  15. ^ A.J. Roberts. Low-dimensional modelling of dynamics via computer algebra. Comput. Phys. Commun. 1997, 100 (3): 215–230. Bibcode:1997CoPhC.100..215R. arXiv:chao-dyn/9604012 . doi:10.1016/S0010-4655(96)00162-2. 
  • Guckenheimer, John; Holmes, Philip, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences 42, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-90819-9, corrected fifth printing .

外部連結