埃尔米特伴随

數學中，特別是算子理論中，每個內積空間中的線性算子 $A$ 都個有一個對應的伴隨算子（英語：adjoint operator），記作 $A^{*}$ ，伴隨算子可由以下關係定義

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle

其中 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 是向量空間中的內積。

算子 $A$ 的伴隨 $A^{*}$ 亦可稱作埃尔米特伴随（英語：Hermitian adjoint），以夏尔·埃尔米特命名。在物理學，尤其是量子力學中，算子 $A$ 的埃尔米特伴随常被記作 $A^{\dagger }$ （狄拉克符号记法）。

有限維向量空間中算子可以以矩陣的形式表示，而伴隨算子的矩陣等於原矩陣的共軛轉置。

泛函分析中，上述對伴隨算子的定義可以直接套用於希尔伯特空间中的线性算子。

有界算子

假設H是一個希爾伯特空間，帶有內積 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 。考慮連續線性算子A : H → H（這與有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在唯一的連續線性算子

A* : H → H具有如下性質：

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle

，对所有

x,y\in H

。

這個算子A* 是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。

马上可得的性质

如果我们定义A的算子范数为

\|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}

则

\|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op},

而且有

\|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}

。

希尔伯特空间H上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

A的像与它的伴随的核的关系为

\ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot },

\left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}

。

第一个等式的证明：

{\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}

第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。注意到一般地，像未必是闭的，但连续算子的核总是闭的。

有界算子A: H → H称为埃尔米特或自伴如果

A = A*

这等价于

\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\forall x,y\in H

。

在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。

范畴论中，方程

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle

形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。