星形正多面體

星形正多面體（克卜勒-龐索特多面體）是一類非凸多面體，共有四個。它們的表面均為正多邊形或星形正多邊形，且每個頂點都有相同數目的邊連接。

名稱	施氏符號	點	邊	面	X	對偶多面體	外接立體	內接立體	點群
小星形十二面體	{5/2,5}	12	30	五角星×12	-6	大十二面體	正十二面體	正二十面體	$I_{h}$ 群
大十二面體	{5,5/2}	12	30	正五邊形×12	-6	小星形十二面體	正二十面體	正十二面體	$I_{h}$ 群
大星形十二面體	{5/2,3}	20	30	五角星×12	2	大二十面體	正十二面體	正十二面體	$I_{h}$ 群
大二十面體	{3,5/2}	12	30	等邊三角形×20	2	大星形十二面體	正二十面體	正二十面體	$I_{h}$ 群

性質

皮特里多邊形是指兩個連續邊都屬於多面體的一個面，但三邊不屬多面體的面的不共面多邊形。哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特證明了若正多面體 ${p,q}$ 的皮特里多邊形有 $h$ 邊，則有

\cos ^{2}{\frac {\pi }{p}}+\cos ^{2}{\frac {\pi }{q}}=\cos ^{2}{\frac {\pi }{h}}

。

除了 $p,q,h$ 均為正整數時，有5組解，對應5個正多面體。當 $p,q,h$ 為正有理數時，有多4組解，分別對應4個克卜勒-龐索特多面體。

歷史

14世紀Paolo Uccello的畫作出現了小星形十二面體。
15世紀Wenzel Jamnitzer發現小星形十二面體和大星形十二面體。
1619年開普勒重新發現了小星形十二面體和大星形十二面體，並將它們和正多面體連繫起來。
1809年路易斯·龐索發現了大十二面體和大二十面體。因此這些多面體以開普勒和龐索命名。
1859年阿瑟·凱萊敲定了這些形狀的名字。^[1]

參見

參考文獻

^ Cayley, Arthur. On Poinsot's Four New Regular Solids [論龐索的四種新正立體]. Phil. Mag. 1859, 17: 123–127 and 209.

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[1] Cayley, Arthur. On Poinsot's Four New Regular Solids [論龐索的四種新正立體]. Phil. Mag. 1859, 17: 123–127 and 209.

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