施莱夫利符号

數學中，施萊夫利符號（Schläfli symbol）是一個可以表示一特定正多胞形或密鋪圖案若干重要特性的符號。其命名是為了紀念19世紀數學家路德維希·施萊夫利在幾何和其他領域的許多重要貢獻。

正多邊形

一個有n個邊的正多邊形，其施萊夫利符號為 $\{n\}$ 。例如，施萊夫利符號為 $\{5\}$ 的多邊形即為正五邊形。

星形正多邊形

星形正多邊形指的是正非凸多邊形，即邊長相等的凹多邊形或複雜多邊形。星形正多邊形的施萊夫利符號若為{^p/_q}，表示此一星形多邊形有p個角，每個角和间隔第q个角相連。因此 $\{^{5}/_{2}\}$ 即代表的是正五芒星。

正星芒形

當p和q不互質時，此時的正星形多邊形即稱為正星芒形（star figure）。若p跟q的最大公因數為n，此一正星芒形即是由n個 $\{^{^{p}/_{n}}/_{^{q}/_{n}}\}$ 相互旋繞而成。例如， $\{6/2\}$ ，即正六角星，便是由兩個正三角形 $\{3/1\}$ 所組成的，而 $\{10/4\}$ 則是由兩個正五角星所組成。

正多面體

正多面體的施萊夫利符號計做{p,q}，其中p代表每個面的边数，而q代表顶点图的边数，即每个顶点连接多少条棱。此外，還有三個二維空間歐氏正堆砌（honeycomb），它們的施萊夫利符號如下：

四维及以上正多胞形

高维空间多胞形的施莱夫利符号可以通过类比得出，一个n维正多胞形的施莱夫利符号包含n-1个数字。

四维正多胞体

四维正多胞体的施莱夫利符号记做{p,q,r},其中{p}为二维面，{p,q}为胞，{q,r}为顶点图，{r}为棱图。四维凸正多胞体共有6种，另有一个三维空间欧氏正堆砌（honeycomb），它们的施莱夫利符号如下：

正五胞體：{3,3,3}
正八胞體：{4,3,3}
正十六胞體：{3,3,4}
正二十四胞體：{3,4,3}
正一百二十胞體：{5,3,3}
正六百胞體：{3,3,5}
正六面體堆砌：{4,3,4}

五维及以上正多胞形

在五维及以上空间中只存在三种凸正多胞形，并且五維及以上空間只有一种欧氏正堆砌，其中单纯形（正n+1胞體）的施莱夫利符号为{3,3,3,...,3,3,3}（共n-1个3），超方形（正2n胞體）的施莱夫利符号为{4,3,3,...,3,3,3}（共n-2个3），正轴形（正2ⁿ胞體）的施莱夫利符号为{3,3,3,...,3,3,4}（共n-2个3），超立方体堆砌的施莱夫利符号为: {4,3,3,...,3,3,4}（中间共n-3个3）。此外，存在三个四维空間欧氏正堆砌，分别是正八胞体堆砌:{4,3,3,4}，正十六胞体堆砌:{3,3,4,3}和正二十四胞体堆砌:{3,4,3,3}。

參考文獻

Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50.（Extended Schläfli notation used）