可测函数

(重定向自博雷尔函数

可测函数(英語:measurable function)是保持可测空间結構的函数,也是勒貝格積分中主要討論的函數。

正式定義

可測函數的定義 —   可测空间。那函数   對任意   若滿足:

 

則稱   為一個   -   可測函數

重要範例

實可測函數

取本節定義中的  实数系   ,然後取:

 
 

換句話說,  是由實數開區間所生成的博雷爾代數(注意到   本身是個拓扑基),那麼這樣的  -   可測函數   ,通常會簡稱為   - 實可測函數;甚至簡稱為實可測函數概率论裡的随机变量就是實可測函數。

博雷爾函数

如果   正好也是拓撲空間,這時取以下兩個最小σ-代数

 
 

換句話說,  是由  开集所生成的博雷爾代數  是由  开集所生成的博雷爾代數,那這樣   -   可测函数   又称为   -   博雷爾函数(Borel function)。

根據拓撲空間连续函數的定義,   -   博雷爾函数必定   -   連續,但反之不成立,原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

定理(1) —  可测空间  為一集合,且有函数   。那

 

 σ代數

證明

以下將逐條檢驗   是否符合σ代數的定義

(1)  

因為:

 

所以  

(2)   ,則  

  ,因為:

 

所以  

(3)可數個并集仍在  

  ,那因為:

 

所以  

綜上所述,   的確是 σ代數 

定理(2) —  可测空间 集合   的一個子集族 ,那對函数   來說,以下兩敘述等價:

  1. 對所有   
  2.    -   可測函數
證明

(1   2)

若對所有   都有:

 

換句話說:

 

那根據本節之定理(1)和最小σ代数   的定義有:

 

換句話說,只要   就有  ,故    -   可測函數。 

(2   1)

若對所有  都有  ,換句話說:

 

這樣的話,的確可以從   推出   

定理(3) —  可测空间  拓扑空间,若: [1]

  •   -  可測函數
  •    -   连续函數

复合函数   -  可測函數。

證明

根據定理(2),   -  可測函數等價於:

「對所有的   

但因為   -   连续函數,故:

「對所有的   

  又為  -  可測函數,故可以得到   ,所以本定理得証。 

  • 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
  • 可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
  • 可测函数的逐点极限是可测的。(连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件,例如一致收敛。)
  • 卢辛定理


勒贝格可测函数

勒贝格可测函数是一个实函数f : RR,使得对于每一个实数a,集合

 

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如,如果 是实数轴 的一个不可测子集,那么它的指示函数 是不可测的。

参见

参考文献

  1. ^ Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.