向量测度

向量测度（vector measure）是数学名詞，是指針對集合族定義的函數，其值為滿足特定性質的向量。向量测度是测度概念的推廣，测度是針對集合定義的函數，函數的值只有非負的實數。

定義及相關推論

給定集合域 $(\Omega ,{\mathcal {F}})$及巴拿赫空间 $X$，有限加性向量測度（finitely additive vector measure）簡稱測度，是一個滿足以下條件的函數$\mu :{\mathcal {F}}\to X$：針對任二個${\mathcal {F}}$內的不交集$A$和$B$，下式均成立：

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$

向量测度$\mu$稱為可數加性（countably additive）若針對任意${\mathcal {F}}$內不交集形成的序列 $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$，都可以讓${\mathcal {F}}$內的聯集滿足以下條件

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$

等號右邊的级数會收斂到巴拿赫空间$X$的范数。

可以證明向量測度$\mu$有可數加性，若且唯若針對任何以上的序列$(A_{i})_{i=1}^{\infty }$，下式均成立

$\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\qquad \qquad (*)$

其中$\|\cdot \|$是$X$的範數。

在Σ-代数中定義的可數加性向量测度，會比有限测度（测度的值為非負數）、有限有號測度（测度的值為實數）及複數测度（测度的值為複數）要廣泛。

舉例

考慮一個由$[0,1]$區間的集合形成的場，以及此區間內所有勒贝格测度形成的族${\mathcal {F}}$。針對任意集合$A$，定義

$\mu (A)=\chi _{A}$

其中$\chi$是$A$的指示函数。依$\mu$的定義不同，會得到不同的結果。

• $\mu$若是從${\mathcal {F}}$到Lp空间 $L^{\infty }([0,1])$的函數，$\mu$是沒有可數加性的向量测度。
• $\mu$若是從${\mathcal {F}}$到L^p空間 $L^{1}([0,1])$的函數，$\mu$是有可數加性的向量测度。

依照上一節的判別基準(*)可以得到以上的結果。

向量测度的变差

給定向量测度$\mu :{\mathcal {F}}\to X,$，其变差（variation）$|\mu |$定義如下

$|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|$

其中最小上界是針對所有${\mathcal {F}}$中$A$，所有將$A$划分到有限不交集的划分

$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$

此處，$\|\cdot \|$為$X$的範數。

$\mu$的变差是有限可加函數，其值在$[0,\infty ]$之間，會使下式成立

$\|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)$

針對任意在${\mathcal {F}}$內的$A$。若$|\mu |(\Omega )$是有限的，則测度$\mu$有有界变差（bounded variation）。可以證明若$\mu$為具有有界变差的向量测度，則$\mu$具有可數加性若且唯若$|\mu |$具有可數加性。

李亞普諾夫定理

在向量测度的理論中，李亞普諾夫的定理提到non-atomic 向量测度的值域是闭集及凸集 。而且non-atomic 向量测度的值域是高维环面（zonoid，是闭集及凸集，是環帶多面體收斂序列的極限）。李亞普諾夫定理有用在数理经济学、起停式控制的控制理论及統計理論。 李亞普諾夫定理已可以用沙普利－福克曼引理證明，後者可以視為是李亞普諾夫定理的离散化版本 。

參考資料

書籍

• Cohn, Donald L. Measure theory reprint. Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. 1997: IX+373 [1980]. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001. 
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. Vector measures. Mathematical Surveys 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1977: xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6. 
• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
• van Dulst, D., Vector measures, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Rudin, W. Functional analysis. New York: McGraw-Hill. 1973: 114. 

相關條目

• 博赫纳积分