群論裡,四元群 (Quaternion Group) 是指一個為8的非交換群,常被簡寫為 ,且用乘法的形式表示。包含下列8個元素:

Q環圖。每一種顏色代表連結至單位元(1)之任一元素的次方。例如,紅色的環反映了,亦反映了

其中, 代表單位元素,且 。對於每個元素 ,有 的關係。另外,

凱萊表如下:

1 i j k −1 −i −j −k
1 1 i j k −1 −i −j −k
i i −1 k −j −i 1 −k j
j j −k −1 i −j k 1 −i
k k j −i −1 −k −j i 1
−1 −1 −i −j −k 1 i j k
−i −i 1 −k j i −1 k −j
−j −j k 1 −i j −k −1 i
−k −k −j i 1 k j −i −1

需要特別留意,這個群不是交換群,例如 有著漢彌爾頓群較不常見的性質:每一個 子群都是其正規子群,但這個群不是交換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個

抽象代數裡,可以造出一個其基底為 的四維實向量空間,並使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數,稱為一個四元數除環。需要注意的是,這不是在 上的群代數(其應該是8維的)。相反地,也可以先由四元數開始,再「定義」出由八個元素 所組成之乘法子群作為四元群。

都是 為4的元素,任意選擇其中兩個就可以生成出整個群。 有著下列的展現 (presentation):

其中可以取

中心交換子群。其商群 同構克萊因四元群 (Klein four-group) 。而 內自同構群 (Inner Automorphism Group) 同構於 同餘其中心,且因此也會同構於克萊因四元群自同構群會同構於對稱群 外自同構群因此為

四元群 亦可視為是作用於在有限體 上之二維向量空間的八個非零元素。關於其圖像,請見圖像化GL(2,p)页面存档备份,存于互联网档案馆)。

廣義四元群

一個群若被稱為廣義四元群,則表示其有一個展現

 

其中   為整數。這個群的 。原本的四元群為   時的特例。廣義四元群可以被理解為單位四元數的子群,其生成元 (generator) 為

 
 

廣義四元群是雙循環群此一更大類型的一類。廣義四元群有著每個交換子群都是循環群的性質。可證明一具有此性質(每個交換子群都是循環群)的有限p-群若不是循環群就是廣義四元群。

另見