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均方差」重定向至此。關於均方誤差(MSE),詳見「
均方誤差」;關於均方根誤差(RMSE),詳見「
均方根誤差」。
標準差,又稱標準偏差、均方差 (英語:standard deviation,縮寫SD,符號σ),在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義:為方差開算术平方根,反映组内個體間的離散程度;標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分佈程度的結果,原則上具有兩種性質:
- 為非負數值(因為平方後再做平方根);
- 與測量資料具有相同單位(這樣才能比對)。
一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差,及一個子集合樣品數的標準差之間,有所差別。其公式如下所列。
標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。
闡述及應用
簡單來說,標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差,代表大部分的數值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差,代表這些數值較接近平均值。
例如,兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二個集合具有較小的標準差。
表述“相差 个标准差”,即在 的样本(sample)范围内考量。
標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中,做重複性測量時,測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值,測量值的標準差佔有決定性重要角色:如果測量平均值與預測值相差太遠(同時與標準差數值做比較),則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解,因為如果測量值都落在一定數值範圍之外,可以合理推論預測值是否正確。
標準差應用於投資上,可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大,代表回報遠離過去平均數值,回報較不穩定故風險越高。相反,標準差數值越小,代表回報較為穩定,風險亦較小。
母體的標準差
基本定義
-
为平均值。
简化计算公式
上述公式可以如下代換而簡化:
-
所以:
-
根號裡面,亦即變異數( )的簡易口訣為:「平方的平均」減去「平均的平方」。
母體為随机变量
一隨機變量 的標準差定義為:
-
須注意並非所有隨機變量都具有標準差,因為有些隨機變量不存在期望值。
如果隨機變量 為 具有相同機率,則可用上述公式計算標準差。
離散随机变量的标准差
若 是由實數 構成的離散隨機變數(英語:discrete random variable),且每個值的機率相等,則 的標準差定義為:
- ,其中
換成用 來寫,就成為:
- ,其中
目前為止,與母體標準差的基本公式一致。
然而若每個 可以有不同機率 ,則 的标准差定義為:
- ,其中
这里, 为 的数学期望。
连续随机变量的标准差
若 為概率密度 的连续随机变量(英語:continuous random variable),則 的标准差定義為:
-
其中 为 的数学期望:
-
标准差的特殊性质
对于常数 和随机变量 和 :
-
-
-
- 其中:
- 表示随机变量 和 的协方差。
- 表示 ,即 ( 的變異數),對 亦同。
样本的标准差
範例
這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{5, 6, 8, 9}:
- 第一步,計算平均值 ︰
-
- 當 (因為集合裏有4個數),分別設為:
-
則平均值為
-
- 第二步,計算標準差 ︰
-
常態分佈的規則
標準差與平均值之間的關係
几何学解释
从几何学的角度出发,标准差可以理解为一个从 维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子,一组数据中有3个值, 。它们可以在3维空间中确定一个点 。想像一条通过原点的直线 。如果这组数据中的3个值都相等,则点 就是直线 上的一个点, 到 的距离为0,所以标准差也为0。若这3个值不都相等,过点 作垂线 垂直于 , 交 于点 ,则 的坐标为这3个值的平均数:
-
运用一些代数知识,不难发现点 与点 之间的距离(也就是点 到直线 的距离)是 。在 维空间中,这个规律同样适用,把 换成 就可以了。
参考文献
外部链接