基本元素

集合论中,基本元素(ur-element, 或urelement)是指那些自身不為集合,但可以是某個集合的元素數學物件。就是说如果 U 是基本元素,则

XU

這一說法是没有意义的,而

UX

是完全合理的。

这不应该與空集混淆,當我們說

X

這是逻辑上合理的,只不过是假的。

基本元素有时也叫做“原子”或“个体”。

基本元素和公理化

在叫做 Zermelo-Fraenkel 集合论的标准公理化集合论中,没有基本元素。但是確實有其他公理化集合論使用基本元素,比如:带有基本元素的 Kripke-Platek 集合论。在帶有类型的集合论系统中,基本元素有时是类型 0 的对象,所以叫做“原子”。在这种理论中,外延公理需要特殊的形式化和处理。

現已發現,向 NF 系统加進基本元素而生成的 NFU系統會產生某些令人驚訝的结论。特别是,NFU 已知是一致的,尽管與 NF 的相对一致性仍是未解的问题。此外,NFU 一致于选择公理而 NF 則不然。

引用