定義
假設 是一個度量空間且 是一個在 之上的外測度。若 有以下性質 :
只要
-
就有
-
那么称 是一个度量外测度。
如果 是 上的度量外测度,那么 的每个Borel子集都是 -可测的。
外測度的构造
有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。
令 为一集合, 是 的包含空集的子集族, 是 上的非负扩展实数值函数,且 在空集处取零。
那么定义
-
则 是一个外测度。
另一种方法在度量空间上更有效,因为它直接得到了度量外测度。设 是一个度量空间, 是 的包含空集的子集族, 是 上的非负扩展实数值函数,且 在空集处取零。那么,对任意 ,令
-
及
-
对 有 成立,因为 减小时,下确界是在更小的集合上取得的。所以
-
存在(可能是无穷大)。
这样构造的 是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。
參考
- P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
- M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953