多面形

球面正二角形组成的球面镶嵌图

幾何學中,多面形(英語:Hosohedron)是一種由月牙形或球弓形組成的球面鑲嵌,並且使得每一個月牙形或球弓形共用相同的兩個頂點。其在施萊夫利符號中用 {2, n} 表示n面形。

多面形
多面形
以六面形為例
類別正多面體
球面鑲嵌
對偶多面體多邊形二面體在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
node n node 2 node_1 
施萊夫利符號{2,n}
威佐夫符號
英语Wythoff symbol
n | 2 2
性質
頂點
歐拉特徵數F=, E=, V= (χ=2)
組成與佈局
面的種類n個二角形
頂點圖2n
頂點佈局
英语Vertex_configuration
2n
對稱性
對稱群Dnh, [2,n], (*22n), order 4n
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
Dn, [2,n]+, (22n), order 2n
圖像

多邊形二面體
對偶多面體
註:為底面邊數 。

其亦可以視為由球面正二角形組成的球面鑲嵌圖,又稱為二角形鑲嵌二邊形鑲嵌

正多面形

施萊夫利符號中以{m, n}表示的正多面體,其面的個數存在下列等式:

 

自古以來大家所熟知的正多面體——柏拉圖立體是當m≥3且n≥3的整數解,限制在m≥3的狀態下,多邊形面必須至少有三條邊。

當考慮多面體為球面鑲嵌時,該限制可以放寬,因為二角形(二邊形)可以以球弓形或月牙形存在,即球面二角形具有非零面積。當m=2時則會產生一個新的無窮集合,即多面形。在球面上,所述多面體{2, n}表示當n個球弓形組合,並且具有2π/n內角。所有二角形階共用相同的兩個頂點,即每個頂點皆為所有二角形的公共頂點。

每個正多面形都是n階二邊形鑲嵌。

 
一個正三面形,{2,3},以三個月牙形鑲嵌於求面表示。又稱三階二邊形鑲嵌。
 
一個正四面形,以四個月牙形鑲嵌於求面表示。又稱四階二邊形鑲嵌。
正多面形系列
球面鑲嵌 歐式鑲嵌
仿緊空間
雙曲鑲嵌
非緊空間
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... iπ
一面形 二面形 三面形 四面形 五面形 六面形 七面形 八面形 九面形 十面形 十一面形 十二面形 無限面形 超無限面形
   
{2,1}
     
{2,2}
     
{2,3}
     
{2,4}
     
{2,5}
     
{2,6}
     
{2,7}
     
{2,8}
     
{2,9}
      
{2,10}
      
{2,11}
      
{2,12}
     
{2,∞}
     
{2,iπ/λ}
                           

命名

英文Hosohedron一詞由考克斯特命名,其來自希臘語ὅσος (osos/hosos),是『盡可能多』的意思,其意思為『盡可能達到很多的面的形狀[1]』因此稱為多面形。

多維面形

多維面形是多面形在高維度的類比,表示有多個維面的幾何圖形。任何正的維面形都可以以施萊夫利符號{2,p,...,q}表示

多維面形
施萊夫利
{2,p,q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram
       

{2,p}π/q

{2}π/p,π/q
頂點 頂點圖
{p,q}
對稱性 對偶多胞形
{2,3,3}         4
{2,3}π/3
 
6
{2}π/3,π/3
4 2 {3,3}
 
[2,3,3] {3,3,2}
{2,4,3}         6
{2,4}π/3
 
12
{2}π/4,π/3
8 2 {4,3}
 
[2,4,3] {3,4,2}
{2,3,4}         8
{2,3}π/4
 
12
{2}π/3,π/4
6 2 {3,4}
 
[2,4,3] {4,3,2}
{2,5,3}         12
{2,5}π/3
 
30
{2}π/5,π/3
20 2 {5,3}
 
[2,5,3] {3,5,2}
{2,3,5}         20
{2,3}π/5
 
30
{2}π/3,π/5
12 2 {3,5}
 
[2,5,3] {5,3,2}

相關幾何體

多香腸面形

 
球面上的三角香腸面形

多香腸面形(lucanicohedron)又稱為截半多面形(rectified hosohedron)是一種半正則地區圖,源自於多面形,其結構為兩個多邊形底面以類似多邊形二面體的方式貼合,但貼合的棱處加上二角形的側面所構成的正則地區圖[2],名稱lucanicohedron源自於這種立體以二角形在側面循環有如香腸串一般,因此取香腸的希臘語λουκάνικο作為字首lucanico-結合多面體字尾-hedron構成的複合詞。[3]

多香腸面形是多面形或多邊形二面體截半變換的結果。[4]

參見

參考文獻

  1. ^ Steven Schwartzman. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. 1 January 1994: 108–109 [2014-06-19]. ISBN 978-0-88385-511-9. (原始内容存档于2014-06-26). 
  2. ^ Draghicescu, Mircea; et al. Single-threaded Polyhedra Models. Bridges 2020 Conference Proceedings (Tessellations Publishing). 2020: 281–288 [2022-12-22]. (原始内容存档于2022-12-22). 
  3. ^ glossary§lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-22]. (原始内容存档于2021-05-07). 
  4. ^ Draghicescu, Mircea. Building Polyhedra Models for Mathematical Art Projects and Teaching Geometry (PDF). Proceedings of Bridges 2019: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture. 2019: 629–634 [2022-12-23]. (原始内容存档 (PDF)于2022-12-23).