尤拉臨界負載

尤拉临界負载是细长柱體突然弯曲或挫曲時的压缩負载。公式如下: [1]

图 1:钢的临界应力与細长比,E = 200 GPa,降伏强度 = 240 MPa。

其中

, 尤拉临界負载(柱上的纵向压缩負载),
,柱體材料的杨氏模數
,柱體横截面的最小面积惯性矩
, 柱體的无支撑长度
,柱體有效长度係數

这个公式是在西元1757年瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推導出來。临界負载是不会引起横向挠曲(挫曲)的最大負载。对于小于临界負载的應力,柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力,柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力,使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲失效。随着負载增加超过临界負载,横向形變量会增加,直到它可能在其他模式下失效,例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。

大約在1900年, J. B. Johnson 提出在低細長比下,應該使用不同的方程式

模型假设

 
图 2:尤拉临界負载的柱體有效长度係数。在实际设计時,建议增加為如上图所示的係数。

在推导尤拉公式時所做的假设如下: [2]

  1. 柱體材料均质且具等向性
  2. 柱體受到的压缩負载仅有轴向。
  3. 柱子没有初始应力
  4. 柱子的重量被忽略。
  5. 柱子最初是直的(轴向負载没有偏移)。
  6. 销接头无摩擦(无力矩约束),若是固定端則無刚性(无旋转偏转)。
  7. 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改變的。
  8. 弯曲應力相比,直接应力非常小(材料仅在弹性应变范围内被压缩)。
  9. 細長比很高,与柱的横截面尺寸相比,柱的长度非常長。
  10. 该柱仅因挫曲而失效,即柱中的压应力不超过降伏强度  (见图1):
     

其中:

 , 细长比,
  ,有效长度,
  ,迴转半径,
 , 面积惯性矩,
 , 横截面面積。

对于细长柱體,临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下,坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力,即它會在挫曲之前就先降伏。

数学推导

銷接端點的柱體

以下模型适用于两端為简支承的柱子(   )。

首先,我们要注意銷接端没有反作用力,所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性(所以应力应该在相同的方向)和力矩平衡(所以应力应该在相反的方向)得到。

使用圖 3 右側的自由体图,并將点 x 的力矩加總:

 

其中 w 是横向變形。

根据尤拉-伯努利樑理论,樑的挠度与其弯矩的關係式为:

  ,
 
图 3:挫曲負载作用在兩端為銷接點的柱體

  , 所以:

 
 

我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程

该方程的通解为:   , 這裡的    常数由边界条件所定義,它们是:

  • 左端點固定 
  • 右端點固定 
 
图 4:前三种挫曲負载模態

如果  ,没有弯矩存在,我们得到了平凡解 

但是,从其他解   我们得到   , 其中 

再加上前述的   ,各种临界負载是:

  , 为了 

并取决于   的值 ,产生不同的挫曲模態[3] ,如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。

理论上任何挫曲模態都有可能出現,但在缓慢施加負载的情况下,可能只会产生第一种模态形状。

因此,銷端柱的尤拉临界負载為:

 

得到柱的第一模态挫曲形状为:

  .

通常的做法

 
图 5:作用在柱上的力與力矩。

[4]樑軸向的微分方程:

 

对于仅具有轴向負载的柱,横向負载   消失,再代入   可得到:

 

这是一个齐次四阶微分方程,其通解为

 

四个常数   由兩端边界条件所决定的   來得到。有以下三种情况:

  1. 銷接端 (Pinned end):
      
  2. 固定端 (Fixed end):
      
  3. 自由端 (Free end):
      

对于这些边界条件的每一种组合,都会得到一個特征值问题。藉由解决这些问题,我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。

參見

参考資料

  1. ^ Column Buckling | MechaniCalc. mechanicalc.com. [2020-12-27]. (原始内容存档于2022-05-12). 
  2. ^ Twelve Viva Questions on Columns and Struts. Engineering Tutorials. 2015-03-28 [2020-12-27]. (原始内容存档于2021-10-08) (英语). 
  3. ^ Buckling of Columns (PDF). (原始内容 (PDF)存档于2015-05-28). 
  4. ^ Timoshenko, S. P.; Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw-Hill. 1961.