尤拉臨界負載
尤拉临界負载是细长柱體突然弯曲或挫曲時的压缩負载。公式如下: [1]
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/FIG2.png/294px-FIG2.png)
其中
这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推導出來。临界負载是不会引起横向挠曲(挫曲)的最大負载。对于小于临界負载的應力,柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力,柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力,使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着負载增加超过临界負载,横向形變量会增加,直到它可能在其他模式下失效,例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。
大約在1900年, J. B. Johnson 提出在低細長比下,應該使用不同的方程式。
模型假设
在推导尤拉公式時所做的假设如下: [2]
- 柱體材料均质且具等向性。
- 柱體受到的压缩負载仅有轴向。
- 柱子没有初始应力。
- 柱子的重量被忽略。
- 柱子最初是直的(轴向負载没有偏移)。
- 销接头无摩擦(无力矩约束),若是固定端則無刚性(无旋转偏转)。
- 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改變的。
- 與弯曲應力相比,直接应力非常小(材料仅在弹性应变范围内被压缩)。
- 細長比很高,与柱的横截面尺寸相比,柱的长度非常長。
- 该柱仅因挫曲而失效,即柱中的压应力不超过降伏强度 (见图1):
其中:
- , 细长比,
- ,有效长度,
- ,迴转半径,
- , 面积惯性矩,
- , 横截面面積。
对于细长柱體,临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下,坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力,即它會在挫曲之前就先降伏。
数学推导
銷接端點的柱體
以下模型适用于两端為简支承的柱子( )。
首先,我们要注意銷接端没有反作用力,所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性(所以应力应该在相同的方向)和力矩平衡(所以应力应该在相反的方向)得到。
使用圖 3 右側的自由体图,并將点 x 的力矩加總:
其中 w 是横向變形。
- ,
让 , 所以:
我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。
该方程的通解为: , 這裡的 和 常数由边界条件所定義,它们是:
- 左端點固定
- 右端點固定
如果 ,没有弯矩存在,我们得到了平凡解 。
但是,从其他解 我们得到 , 其中
再加上前述的 ,各种临界負载是:
- , 为了
并取决于 的值 ,产生不同的挫曲模態[3] ,如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。
理论上任何挫曲模態都有可能出現,但在缓慢施加負载的情况下,可能只会产生第一种模态形状。
因此,銷端柱的尤拉临界負载為:
得到柱的第一模态挫曲形状为:
- .
通常的做法
[4]樑軸向的微分方程:
对于仅具有轴向負载的柱,横向負载 消失,再代入 可得到:
这是一个齐次四阶微分方程,其通解为
四个常数 由兩端边界条件所决定的 來得到。有以下三种情况:
- 銷接端 (Pinned end):
- 和
- 固定端 (Fixed end):
- 和
- 自由端 (Free end):
- 和
对于这些边界条件的每一种组合,都会得到一個特征值问题。藉由解决这些问题,我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。
參見
参考資料
- ^ Column Buckling | MechaniCalc. mechanicalc.com. [2020-12-27]. (原始内容存档于2022-05-12).
- ^ Twelve Viva Questions on Columns and Struts. Engineering Tutorials. 2015-03-28 [2020-12-27]. (原始内容存档于2021-10-08) (英语).
- ^ Buckling of Columns (PDF). (原始内容 (PDF)存档于2015-05-28).
- ^ Timoshenko, S. P.; Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw-Hill. 1961.