尤拉临界负载

尤拉临界负载是细长柱体突然弯曲或挫曲时的压缩负载。公式如下: [1]

图 1:钢的临界应力与细长比,E = 200 GPa,降伏强度 = 240 MPa。

其中

, 尤拉临界负载(柱上的纵向压缩负载),
,柱体材料的杨氏模数
,柱体横截面的最小面积惯性矩
, 柱体的无支撑长度
,柱体有效长度系数

这个公式是在西元1757年瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推导出来。临界负载是不会引起横向挠曲(挫曲)的最大负载。对于小于临界负载的应力,柱将保持笔直。对于大于临界负载的应力,柱将有横向形变产生。恰等于临界负载的应力,使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲失效。随着负载增加超过临界负载,横向形变量会增加,直到它可能在其他模式下失效,例如材料降伏。超出临界负载的应力不在本文的讨论范围。

大约在1900年, J. B. Johnson 提出在低细长比下,应该使用不同的方程式

模型假设

 
图 2:尤拉临界负载的柱体有效长度系数。在实际设计时,建议增加为如上图所示的系数。

在推导尤拉公式时所做的假设如下: [2]

  1. 柱体材料均质且具等向性
  2. 柱体受到的压缩负载仅有轴向。
  3. 柱子没有初始应力
  4. 柱子的重量被忽略。
  5. 柱子最初是直的(轴向负载没有偏移)。
  6. 销接头无摩擦(无力矩约束),若是固定端则无刚性(无旋转偏转)。
  7. 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改变的。
  8. 弯曲应力相比,直接应力非常小(材料仅在弹性应变范围内被压缩)。
  9. 细长比很高,与柱的横截面尺寸相比,柱的长度非常长。
  10. 该柱仅因挫曲而失效,即柱中的压应力不超过降伏强度  (见图1):
     

其中:

 , 细长比,
  ,有效长度,
  ,回转半径,
 , 面积惯性矩,
 , 横截面面积。

对于细长柱体,临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下,坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力,即它会在挫曲之前就先降伏。

数学推导

销接端点的柱体

以下模型适用于两端为简支承的柱子(   )。

首先,我们要注意销接端没有反作用力,所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性(所以应力应该在相同的方向)和力矩平衡(所以应力应该在相反的方向)得到。

使用图 3 右侧的自由体图,并将点 x 的力矩加总:

 

其中 w 是横向变形。

根据尤拉-伯努利梁理论,梁的挠度与其弯矩的关系式为:

  ,
 
图 3:挫曲负载作用在两端为销接点的柱体

  , 所以:

 
 

我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程

该方程的通解为:   , 这里的    常数由边界条件所定义,它们是:

  • 左端点固定 
  • 右端点固定 
 
图 4:前三种挫曲负载模态

如果  ,没有弯矩存在,我们得到了平凡解 

但是,从其他解   我们得到   , 其中 

再加上前述的   ,各种临界负载是:

  , 为了 

并取决于   的值 ,产生不同的挫曲模态[3] ,如图 4 所示。 n=0 时的负载和模态是非挫曲模态。

理论上任何挫曲模态都有可能出现,但在缓慢施加负载的情况下,可能只会产生第一种模态形状。

因此,销端柱的尤拉临界负载为:

 

得到柱的第一模态挫曲形状为:

  .

通常的做法

 
图 5:作用在柱上的力与力矩。

[4]梁轴向的微分方程:

 

对于仅具有轴向负载的柱,横向负载   消失,再代入   可得到:

 

这是一个齐次四阶微分方程,其通解为

 

四个常数   由两端边界条件所决定的   来得到。有以下三种情况:

  1. 销接端 (Pinned end):
      
  2. 固定端 (Fixed end):
      
  3. 自由端 (Free end):
      

对于这些边界条件的每一种组合,都会得到一个特征值问题。借由解决这些问题,我们得到了图 2 中所示每种条件下的尤拉临界负载值。

参见

参考资料

  1. ^ Column Buckling | MechaniCalc. mechanicalc.com. [2020-12-27]. (原始内容存档于2022-05-12). 
  2. ^ Twelve Viva Questions on Columns and Struts. Engineering Tutorials. 2015-03-28 [2020-12-27]. (原始内容存档于2021-10-08) (英语). 
  3. ^ Buckling of Columns (PDF). (原始内容 (PDF)存档于2015-05-28). 
  4. ^ Timoshenko, S. P.; Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw-Hill. 1961.