帕斯卡定理

帕斯卡定理圆锥曲线的内接六边形其三条对交点共线。它与布列安桑定理对偶,是帕普斯定理的推广。(當這個圓錐曲線退化成兩條直線時,帕斯卡定理就會變成帕普斯定理)

该定理由法国数学家布莱士·帕斯卡于16岁时提出但並未證明,是射影几何中的一个重要定理

证明

如图,如果圆锥曲线是一圆,圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G,边BC、EF的延长线交于点H,边CD、FA的延长线交于点K。

 

延长AB、CD、EF,分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点,构成△LMN。

利用梅涅劳斯定理

直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点,则 …①

直线DE截LM、MN、NL于G、D、E三点,则 …②

直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点,则 …③

连BE,则 …④。同理 …⑤, …⑥。

将①②③④⑤⑥相乘,得 

∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上,∴H、G、K三点共线。

其餘圓錐曲線

任何非退化圓錐曲線皆可經由投影變換投影成圓,故帕斯卡定理於其他圓錐曲線亦成立。

参见