帕普斯定理

设U,V,W,X,Y和Z为平面上6条直线。如果:
(1)U与V的交点,X与W的交点,Y与Z的交点共线,且
(2)U与Z的交点,X与V的交点,Y与W的交点共线,
则一定有(3)U与W的交点,X与Z的交点,Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理(英語:Pappus's hexagon theorem)。

帕普斯定理

也就是说,
如果

這個定理是帕斯卡定理的一個特例,當這個圓錐曲線退化成兩條直線的時候。

证明

 
 
 

我们需要证明如果  = 0且  = 0,则  = 0。

第一步

利用恒等式

 

可将   表述为以下形式:

 
 
 

第二步

利用恒等式

 
 

可得

 
 
 

以及

 
 
 

第三步

利用数量积的分配律,可得:

 
 
 

第四步

利用恒等式

 
 

可得:

 
 
 

第五步

把这些等式相加,得:

 
 

因此,如果  = 0且  = 0,则  = 0。

证毕。

参见