振荡 (数学)

数学中,函数序列振荡是用于量化序列或函数在接近无穷大或某一点时,其极值之间的变化程度的数字。与极限类似,有好几种定义将这一只管概念转化为适合数学处理的形式:实数序列的振荡、实值函数在一点的振荡,以及函数在区间(或开集)上的振荡。

序列的振荡(蓝色)是序列的上极限和下极限的差值。

定义

序列的振荡

 为实数序列。则序列的 振荡可定义为 的上下极限之间的差(可能是无穷大):

 .

当且仅当序列收敛时,振荡为零。若  都等于+∞或−∞,即序列趋近于+∞或−∞,则称振荡未定义。

开集函数的振荡

 为实变量的实值函数,则 在区间 上的振荡是 的上下确界之差:

 

更一般地说,若 拓扑空间 (如度量空间)上的函数,则 开集 上的振荡为

 

函数在一点的振荡

实变函数  处的振荡定义为   邻域上的振荡在 时的极限:

 

这等同于函数在 处的上下极限之差,前提是 不被排除在极限之外。

更一般地说,若 度量空间上的实值函数,则振荡为

 

示例

 
sin (1/x)(拓扑学家正弦曲线)在x = 0处的振荡为2,其他地方都是0。
  •   处有无穷大的振荡,其他地方均为0。
  •  拓扑学家正弦曲线)在 处的振荡为2,其他地方均为0。
  •  在所有有限的 处的振荡均为0,在−∞、+∞处为2。
  •  (1, -1, 1, -1, 1, -1...)的振荡为2。

最后一例的序列是周期的,而任何周期(非常值)序列的振荡必不是0。不过,非零振荡无法推出周期性。

从几何角度看,实数振荡函数的图形会沿着xy平面上的某条路径运行,而不会收敛到越来越小的区域。在良态情况下,路径可能看起来像一个循环,即周期性行为;在最糟糕的情况下,则是覆盖整个区域的非常不规则的运动。

连续性

振荡可以用来定义函数的连续性,并且很容易等价于通常的ε-δ定义(对于定义在实线各处的函数):当且仅当振荡为0时,函数ƒ在x0处连续;[1]用符号表示为 这个定义的好处在于量化了不连续性:振荡给出了函数在某点的不连续程度。

例如,在间断点的分类中有:

  • 可去间断点的函数偏移值等于震荡;
  • 跳跃间断点的函数跳跃值等于震荡(假设该点的值位于两侧极限之间);
  • 第二类间断点中,振荡衡量了极限不存在的程度。

描述集合论中,这个定义有助于研究间断点和连续点的集合:连续点是振荡小于ε的集合的交集(于是是Gδ),并给出了勒贝格可积条件一个方向的快速证明。[2]

通过简单的重排和极限(上极限和下极限)来定义振荡,可以等价于ε-δ定义:若(在某点)对给定的ε0,没有能满足ε-δ条件的δ,则振荡大于等于ε0;反之,若对每个ε都有能满足的δ,则振荡为0。振荡定义可以自然地推广到从拓扑空间到度量空间的映射。

推广

更一般地,设f : XY拓扑空间X度量空间Y的函数,则f的振荡可定义在每个xX

 

另见

参考文献

  1. ^ Introduction to Real Analysis页面存档备份,存于互联网档案馆), updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172
  2. ^ Introduction to Real Analysis页面存档备份,存于互联网档案馆), updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177

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