振盪 (數學)

數學中,函數序列振盪是用於量化序列或函數在接近無窮大或某一點時,其極值之間的變化程度的數字。與極限類似,有好幾種定義將這一隻管概念轉化為適合數學處理的形式:實數序列的振盪、實值函數在一點的振盪,以及函數在區間(或開集)上的振盪。

序列的振盪(藍色)是序列的上極限和下極限的差值。

定義

序列的振盪

 為實數序列。則序列的 振盪可定義為 的上下極限之間的差(可能是無窮大):

 .

若且唯若序列收斂時,振盪為零。若  都等於+∞或−∞,即序列趨近於+∞或−∞,則稱振盪未定義。

開集函數的振盪

 為實變量的實值函數,則 在區間 上的振盪是 的上下確界之差:

 

更一般地說,若 拓撲空間 (如度量空間)上的函數,則 開集 上的振盪為

 

函數在一點的振盪

實變函數  處的振盪定義為   鄰域上的振盪在 時的極限:

 

這等同於函數在 處的上下極限之差,前提是 不被排除在極限之外。

更一般地說,若 度量空間上的實值函數,則振盪為

 

示例

 
sin (1/x)(拓撲學家正弦曲線)在x = 0處的振盪為2,其他地方都是0。
  •   處有無窮大的振盪,其他地方均為0。
  •  拓撲學家正弦曲線)在 處的振盪為2,其他地方均為0。
  •  在所有有限的 處的振盪均為0,在−∞、+∞處為2。
  •  (1, -1, 1, -1, 1, -1...)的振盪為2。

最後一例的序列是周期的,而任何周期(非常值)序列的振盪必不是0。不過,非零振盪無法推出周期性。

從幾何角度看,實數振盪函數的圖形會沿着xy平面上的某條路徑運行,而不會收斂到越來越小的區域。在良態情況下,路徑可能看起來像一個循環,即周期性行為;在最糟糕的情況下,則是覆蓋整個區域的非常不規則的運動。

連續性

振盪可以用來定義函數的連續性,並且很容易等價於通常的ε-δ定義(對於定義在實線各處的函數):若且唯若振盪為0時,函數ƒ在x0處連續;[1]用符號表示為 這個定義的好處在於量化了不連續性:振盪給出了函數在某點的不連續程度。

例如,在間斷點的分類中有:

  • 可去間斷點的函數偏移值等于震蕩;
  • 跳躍間斷點的函數跳躍值等于震蕩(假設該點的值位於兩側極限之間);
  • 第二類間斷點中,振盪衡量了極限不存在的程度。

描述集合論中,這個定義有助於研究間斷點和連續點的集合:連續點是振盪小於ε的集合的交集(於是是Gδ),並給出了勒貝格可積條件一個方向的快速證明。[2]

通過簡單的重排和極限(上極限和下極限)來定義振盪,可以等價於ε-δ定義:若(在某點)對給定的ε0,沒有能滿足ε-δ條件的δ,則振盪大於等於ε0;反之,若對每個ε都有能滿足的δ,則振盪為0。振盪定義可以自然地推廣到從拓撲空間到度量空間的映射。

推廣

更一般地,設f : XY拓撲空間X度量空間Y的函數,則f的振盪可定義在每個xX

 

另見

參考文獻

  1. ^ Introduction to Real Analysis頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172
  2. ^ Introduction to Real Analysis頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177

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