狄拉克旋量

量子場論中,狄拉克旋量(英語:Dirac spinor)為一雙旋量英语bispinor,出現在自由粒子狄拉克方程式平面波解中:

自由粒子的狄拉克方程式為:

其中(採用自然單位制

相對論性自旋½
是狄拉克旋量,與波向量的平面波有關,
,
為平面波的四維波向量,而為任意的,
為一給定慣性系中的四維空間座標

正能量解所對應的狄拉克旋量為

其中

為任意的雙旋量,
包立矩陣
為正根號

源自狄拉克方程式的推導

狄拉克方程式的形式為:

 

推導出4-旋量 前,可先注意矩陣αβ的值:

 

此二為4×4矩陣,與狄拉克矩陣有關。其中0I為2×2矩陣。

下一步則是找出下式的解:

 ,

此處可將ω分為兩個2-旋量:

 .

結果

將上方資料帶入狄拉克方程式,可得

 .

此矩陣方程式實際上是為兩條聯立方程式

 
 

對第二條方程式求 的解,可得

 .

對第一條方程式求 的解,可得

 .

此解可展示粒子反粒子的關係。

細節

2-旋量

2-旋量最常見的定義為:

 

 

包立矩陣

包立矩陣

 

利用前述知識可計算出:

 

4-旋量

粒子

粒子具有正能量。選擇4-旋量ω的歸一化使得 。這些旋量標記為u

 

其中s = 1或2(自旋向上或向下)。

明確地寫,其為

 

反粒子

具有「正」能量 的反粒子可視為具有「負」能量而逆著時間行進的粒子;因此,將粒子案例的  增加一負號可得到反粒子的結果:

 

在這裡我們選擇了 解。明確地寫,其為

 

相關條目

參考文獻

  • (英文)Aitchison, I.J.R.; A.J.G. Hey. Gauge Theories in Particle Physics (3rd ed.). Institute of Physics Publishing. September 2002. ISBN 0-7503-0864-8. 
  • (英文)Miller, David. Relativistic Quantum Mechanics (RQM) (PDF): 26–37. 2008 [2015-04-09]. (原始内容存档 (PDF)于2020-12-19).