量子場論中,狄拉克旋量(英語:Dirac spinor)為一雙旋量,出現在自由粒子狄拉克方程式的平面波解中:
;
自由粒子的狄拉克方程式為:
![{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace5eabbf2cd6ae83b7b54b1703e1b16a2fe3de1)
其中(採用自然單位制
)
為相對論性自旋½場,
是狄拉克旋量,與波向量為
的平面波有關,
,
為平面波的四維波向量,而
為任意的,
為一給定慣性系中的四維空間座標。
正能量解所對應的狄拉克旋量為
![{\displaystyle \omega _{\vec {p}}={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}{\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b89a05571294ce126c4cd2852d6edd0ab75ed17)
其中
為任意的雙旋量,
為包立矩陣,
為正根號![{\displaystyle \scriptstyle E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4cf16c012f9e8a3974ae3d5e58065ca45a012ec)
源自狄拉克方程式的推導
狄拉克方程式的形式為:
-
推導出4-旋量 前,可先注意矩陣α與β的值:
-
此二為4×4矩陣,與狄拉克矩陣有關。其中0與I為2×2矩陣。
下一步則是找出下式的解:
- ,
此處可將ω分為兩個2-旋量:
- .
結果
將上方資料帶入狄拉克方程式,可得
- .
此矩陣方程式實際上是為兩條聯立方程式:
-
-
對第二條方程式求 的解,可得
- .
對第一條方程式求 的解,可得
- .
此解可展示粒子與反粒子的關係。
細節
2-旋量
2-旋量最常見的定義為:
-
與
-
包立矩陣
包立矩陣
-
利用前述知識可計算出:
-
4-旋量
粒子
粒子具有正能量。選擇4-旋量ω的歸一化使得 。這些旋量標記為u:
-
其中s = 1或2(自旋向上或向下)。
明確地寫,其為
-
反粒子
具有「正」能量 的反粒子可視為具有「負」能量而逆著時間行進的粒子;因此,將粒子案例的 與 增加一負號可得到反粒子的結果:
-
在這裡我們選擇了 解。明確地寫,其為
-
相關條目
參考文獻