皮匠刀問題

幾何學中,皮匠刀問題(中國和日本常稱為圓內容累圓術)研究皮匠刀英语Arbelos中一列互相外切又與皮匠刀的邊界相切的圓的性質。皮匠刀英语Arbelos是三個半圓所包圍的部分,在大半圓直徑上任取一點,以為直徑在同一方向分別作半圓,便得到了皮匠刀。帕普斯證明了該列互相外切的圓的半徑與其圓心到距離的關係。[1]此列圓又稱為帕普斯鏈Pappus chain)。

皮匠刀(填色部分)及其內的帕普斯鏈

問題概述

設在皮匠刀內有一連串互相外切的圓   、⋯(同時又切於兩半圓的弧),則各圓圓心 到直線 的距離 及其半徑 、滿足
 

證明

反演證法

 
皮匠刀問題的反演證法

以點 反演中心作與圓 正交的圓。以  為直徑的半圓會被反演成垂直於 ,與 相切的兩條射線  。而  的其他圓則會被反演成直徑相等,互相外切且與  這兩條平行線相切的一連串的圓。而以 為直徑的半圓反演變換後的圖像類似於 ,而其圓心在 上。由圖像易知上等式成立。 [2]

參考資料

  1. ^ 梁, 宗巨. 數學歷史典故,帕波斯 (PDF). 遼寧教育出版社. 1992: 248–249 [2023-01-22]. (原始内容存档 (PDF)于2023-01-22). 
  2. ^ Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 157–158. ISBN 978-1-61444-411-4.