皮匠刀问题

几何学中,皮匠刀问题(中国和日本常称为圆内容累圆术)研究皮匠刀英语Arbelos中一列互相外切又与皮匠刀的边界相切的圆的性质。皮匠刀英语Arbelos是三个半圆所包围的部分,在大半圆直径上任取一点,以为直径在同一方向分别作半圆,便得到了皮匠刀。帕普斯证明了该列互相外切的圆的半径与其圆心到距离的关系。[1]此列圆又称为帕普斯链Pappus chain)。

皮匠刀(填色部分)及其内的帕普斯链

问题概述

设在皮匠刀内有一连串互相外切的圆   、⋯(同时又切于两半圆的弧),则各圆圆心 到直线 的距离 及其半径 、满足
 

证明

反演证法

 
皮匠刀问题的反演证法

以点 反演中心作与圆 正交的圆。以  为直径的半圆会被反演成垂直于 ,与 相切的两条射线  。而  的其他圆则会被反演成直径相等,互相外切且与  这两条平行线相切的一连串的圆。而以 为直径的半圆反演变换后的图像类似于 ,而其圆心在 上。由图像易知上等式成立。 [2]

参考资料

  1. ^ 梁, 宗巨. 數學歷史典故,帕波斯 (PDF). 辽宁教育出版社. 1992: 248–249 [2023-01-22]. (原始内容存档 (PDF)于2023-01-22). 
  2. ^ Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 157–158. ISBN 978-1-61444-411-4.