穩定多項式

在探討微分方程或是差分方程特徵方程英语Characteristic equation (calculus)時,多項式若滿足任一個性質,即稱為穩定

第一個條件是連續時間線性系統的穩定條件,第二個條件則是離散時間線性系統的穩定性條件。若符合第一個條件的多項式稱為赫爾維茨多項式,第一個條件的多項式則是舒爾多項式英语Schur polynomial。穩定多項式常出現在控制理论中,也應用在微分方程及差分方程的數學理論中。線性时不变系统(參照线性时不变系统理论)為BIBO穩定的條件是所有有界輸入的輸出都是有界。若線性系統的特徵方程為穩定多項式,系統則為BIBO穩定系統。若是連續時間系統,其分母需為赫爾維茨多項式,若是離散時間系統,其分母需為舒爾多項式。實務上,可以透過一些稳定性判据來判斷穩定性。

性質

 

是在莫比乌斯变换  後的結果,將左半平面映射到開集的單位圓內。P為舒爾穩定,若且唯若Q為赫爾維茨穩定而且 。針對高次的多項式可以用其他的測驗方式(例如Schur-Cohn測試、Jury穩定性判準英语Jury stability criterion或是Bistritz穩定性判準英语Bistritz stability criterion)來判定,可以避免映射上的複雜計算。

  • 必要條件:(實係數的)赫爾維茨穩定多項式其係數符號都相同(均為正數或是均為負數)。
  • 充份條件:(實係數的)多項式 若滿足以下條件:: 

則多項式為舒爾穩定。

  • 乘積律:二個(同樣考慮赫爾維茨穩定或舒爾穩定)多項式fg都穩定的充份必要條件為其乘積fg穩定。

例子

  •  為舒爾穩定,因為滿足充份條件。
  •  為舒爾穩定(因為所有的根都為零),但不滿足充份條件。
  •  不是赫爾維茨穩定(其根為-1,2),因為其違反了必要條件。
  •  是赫爾維茨穩定(其根為-1,-2)。
  • 多项式  (都是正係數),既不是赫爾維茨穩定,也不是舒爾穩定,其根為5次单位根中的4個原根
 
注意
 
這是舒爾穩定的臨界情形,因為根恰好在單位圓上,也看到上述的赫爾維茨穩定條件(根均為正)只是必要條件,不是充份條件。

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