稳定多项式

在探讨微分方程或是差分方程的特征方程时，多项式若满足任一个性质，即称为稳定：

• 所有的根都在左半平面开集内。
• 所有的根都在单位圆盘开集内。

第一个条件是连续时间线性系统的稳定条件，第二个条件则是离散时间线性系统的稳定性条件。若符合第一个条件的多项式称为赫尔维茨多项式，第一个条件的多项式则是舒尔多项式。稳定多项式常出现在控制理论中，也应用在微分方程及差分方程的数学理论中。线性时不变系统（参照线性时不变系统理论）为BIBO稳定的条件是所有有界输入的输出都是有界。若线性系统的特征方程为稳定多项式，系统则为BIBO稳定系统。若是连续时间系统，其分母需为赫尔维茨多项式，若是离散时间系统，其分母需为舒尔多项式。实务上，可以透过一些稳定性判据来判断稳定性。

性质

• 劳斯–赫尔维茨定理提供了判断多项式是否为赫尔维茨稳定的算法，是用劳斯–赫尔维茨稳定性判据及林纳德–奇帕特判据来实现。
• 若要测试某多项式P（次数为d）是否为舒尔稳定，将上述定理用在以下转换后的多项式中

$Q(z)=(z-1)^{d}P\left({{z+1} \over {z-1}}\right)$

是在莫比乌斯变换 $z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}$后的结果，将左半平面映射到开集的单位圆内。P为舒尔稳定，当且仅当Q为赫尔维茨稳定而且$P(1)\neq 0$。针对高次的多项式可以用其他的测验方式（例如Schur-Cohn测试、Jury稳定性判准或是Bistritz稳定性判准）来判定，可以避免映射上的复杂计算。

• 必要条件：（实系数的）赫尔维茨稳定多项式其系数符号都相同（均为正数或是均为负数）。
• 充份条件：（实系数的）多项式$f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}$若满足以下条件：:$a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,$

则多项式为舒尔稳定。

• 乘积律：二个（同样考虑赫尔维茨稳定或舒尔稳定）多项式f及g都稳定的充份必要条件为其乘积fg稳定。

例子

• $4z^{3}+3z^{2}+2z+1$为舒尔稳定，因为满足充份条件。
• $z^{10}$为舒尔稳定（因为所有的根都为零），但不满足充份条件。
• $z^{2}-z-2$不是赫尔维茨稳定（其根为-1,2），因为其违反了必要条件。
• $z^{2}+3z+2$是赫尔维茨稳定（其根为-1,-2）。
• 多项式 $z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1$（都是正系数），既不是赫尔维茨稳定，也不是舒尔稳定，其根为5次单位根中的4个原根

$z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\,k=1,\ldots ,4\ .$

注意

$\cos({{2\pi }/5})={{{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.$

这是舒尔稳定的临界情形，因为根恰好在单位圆上，也看到上述的赫尔维茨稳定条件（根均为正）只是必要条件，不是充份条件。

外部链接

• Mathworld page （页面存档备份，存于互联网档案馆）

相关条目

• 稳定性判据
• 稳定半径