凹五角錐十二面體
在幾何學中，凹五角錐十二面體是一種星形多面體。 它的外形是一個Ef1g1星狀的二十面體。 溫尼爾在他的書中列出28種星形多面體模型，並將凹五角錐十二面體列為第三個星狀的二十面體。
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| 類別 | 星形多面體 星形二十面體 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 對偶多面體 | 自身對偶 | |||||||||||
| 識別 | ||||||||||||
| 名稱 | 凹五角錐十二面體 | |||||||||||
| 參考索引 | W28, 26/59 | |||||||||||
| 性質 | ||||||||||||
| 面 | 20 | |||||||||||
| 邊 | 60 | |||||||||||
| 頂點 | 20 | |||||||||||
| 歐拉特徵數 | F=20, E=60, V=20 （χ=-20） | |||||||||||
| 組成與佈局 | ||||||||||||
| 面的種類 |  星形六邊形 | |||||||||||
| 頂點圖 |  凹六邊形 | |||||||||||
| 對稱性 | ||||||||||||
| 對稱群 | 二十面體群 (Ih) | |||||||||||
| 特性 | ||||||||||||
| 稀有 | ||||||||||||
| 圖像 | ||||||||||||
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性質
外觀
凹五角錐十二面體的外觀為一個正十二面體的每個五邊形面都被換成向內凹陷的五角錐。構造成此外觀的立體可以是由12個構成正十二面體的邊和30個構成向內凹陷的五角錐的邊。這30條邊正好能夠落在某個適當大小的大星形十二面體之稜上，並涵蓋了一個正二十面體的星狀核。
| 星狀核 | 長邊 | 面 | 凸包 | 切割 |
|---|---|---|---|---|
 正二十面體 |
 大星形十二面體 |
|
 正十二面體 |
 以綠色表達其中一個六邊形面 |
頂點坐標
凹五角錐十二面體的凸包是正十二面體，因此其頂點坐標與正十二面體相同：
- (±1, ±1, ±1)
- (0, ±1/ϕ, ±ϕ)
- (±1/ϕ, ±ϕ, 0)
- (±ϕ, 0, ±1/ϕ)
其中ϕ = 1 + √5/2為黃金比例。
作為星形多面體
凹五角錐十二面體作為星形多面體時，其面為一種星形六邊形。整個立體共有20個面、60條邊和20個頂點[1]。
| 星狀圖 | 星形 | 星狀核 | 凸包 |
|---|---|---|---|
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 正二十面體[2] |
 正十二面體 |
作為凹多面體
凹五角錐十二面體作為凹多面體時，與五角化十二面體和小星形十二面體有相同的拓樸結構，都是用五角錐取代正十二面體的五邊形面，其差別在於，五角錐的高度，接至外接球的是五角化十二面體，高度更高的是小星形十二面體，高度為負的就是凹五角錐十二面體。
-
小星形十二面體 -
-
正十二面體 -
倒五角化十二面體
凹五角錐十二面體
作為刻面的多面體
在幾何學中，刻面是一種移除多面體的某些部份卻不產生新的頂點的一個動作。凹五角錐十二面體與將正十二面體經過構建20個自我相交的六邊形面的刻面所形成的形狀有相同的形式。這種形式是一種稀有多面體。
其凸包的20個頂點的頂點布局與正十二面體的頂點布局相同。
-
將星形的凹五角錐十二面體中的其中一個六角星面反白顯示 -
這些面可以看做是從正十二面體刻面而來
相關多面體
拓樸正多面體
凹五角錐十二面體在拓樸中相當於六階六邊形鑲嵌的商空間，其可以將作為星形多面體的凹五角錐十二面體中的六角星面進行拓樸變形成正六邊形而構造出六階六邊形鑲嵌，因此在另外一個索引中也被看作是一種正多面體[3]：
| 類別 | 抽象正多面體 |
|---|---|
| 對偶多面體 | 六階六邊形二十面體（自身對偶） |
| 數學表示法 | |
| 施萊夫利符號 | {6,6}6 |
| 性質 | |
| 面 | 20 |
| 邊 | 60 |
| 頂點 | 20 |
| 歐拉特徵數 | F=20, E=60, V=20 （χ=-20） |
| 虧格 | 11 |
| 組成與佈局 | |
| 面的種類 | 六邊形 |
| 對稱性 | |
| 對稱群 | S5， 120元素 |
凹五角錐十二面體在拓樸學上由20個六邊形組成，且每個頂點都是6個六邊形的公共頂點，因此在拓樸學上滿足抽象正多面體的定義。[3][4][5]然而這種抽象面體若是具象化為凹五角錐十二面體則僅能具象化一半的對稱性。這種抽象正多面體可以對應到虧格為11的六階六邊形正則地區圖（施萊夫利符號：{6,6}6）[6]，對應的皮特里多邊形為六邊形，並且同事具備自身對偶和自身皮特里對偶的特性[6]。
其他四種抽象正多面體為：
| 多面體 |  內側菱形三十面體 |
 截半大十二面體 |
 內側三角六邊形二十面體 |
 雙三斜十二面體 |
凹五角錐十二面體 |
|---|---|---|---|---|---|
| 種類 | {4,5}6 | {5,4}6 | {6,5}4 | {5,6}4 | {6,6}6 |
| 頂點圖 | {5}, {5/2} 
|
(5.5/2)2
|
{5}, {5/2}
|
(5.5/3)3
|
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| 面 | 30個菱形
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12個五邊形 12個五角星
|
20個六邊形
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12個五邊形 12個五角星
|
20個六邊形
|
| 鑲嵌 |  {4, 5} |
 {5, 4} |
 {6, 5} |
 {5, 6} |
 {6, 6} |
| χ | −6 | −6 | −16 | −16 | −20 |
實心凹五角錐十二面體
布里居在1974年描述了一個外型與凹五角錐十二面體相似的多面體。布里居發現凹五角錐十二面體中央的部分因為重疊所以不算是凹五角錐十二面體的一部份，因而導致凹五角錐十二面體中心密度是0，因此其描述了一個有中間部分的凹五角錐十二面體[7][8]。
| 凹五角錐十二面體 | 布里居的實心凹五角錐十二面體 | |
|---|---|---|
| 星狀圖 |
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複合大三角六邊形二十面體凹五角錐十二面體
複合大三角六邊形二十面體凹五角錐十二面體是指由大三角六邊形二十面體和凹五角錐十二面體重疊組合成的一種幾何形狀。
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其也是一種星形二十面體。
| 星狀圖 | 星形 | 星狀核 | 凸包 |
|---|---|---|---|
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正二十面體 |
正二十面體 |
參考文獻
- ^ Other Solids: Hugel's Polyhedron. dmccooey.com. [2018-08-25]. （原始内容存档于2016-08-07）.
- ^ Jürgen Meier. 11.3. Ausgehöhltes Dodekaeder. 3d-meier.de. [2022-08-21]. （原始内容存档于2022-11-29） （德语）.
- ^ 3.0 3.1 The Regular Polyhedra (of index two) （页面存档备份，存于互联网档案馆）, David A. Richter
- ^ Regular Polyhedra of Index Two, I （页面存档备份，存于互联网档案馆） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
- ^ Regular Polyhedra of Index Two, II （页面存档备份，存于互联网档案馆） Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
- ^ 6.0 6.1 R11.5. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16]. （原始内容存档于2021-10-16）.
- ^ Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11 [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-13）. Precursor: FmFq, Du Val symbol: Ef1g1
- ^ G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.