肯普納級數

不含數字9的正整數倒數和,是收斂級數

肯普納級數(英語:Kempner series)是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成

其中「缺9」意思是「十進制表示中,不含數字9」,下同。奧伯利·肯普納英语Aubrey J. Kempner於1914年最早研究該級數。[1]肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得,但肯普納級數收斂,調和級數則發散。肯普納證明,級數之和小於90。羅伯特·貝利[2]證明,級數準確到小數點後20位的值為22.92067661926415034816OEIS數列A082838)。

直觀理解,級數收斂是因為大部分「大數」都有齊0至9的全部數字。例如,均勻隨機選一個100位的正整數,很易包含至少一個數字9,於是級數不計該數的倒數。

施梅爾策與貝利[3]找到高效算法,給定任意數字串為輸入,計算缺該串的正整數倒數和。此問題推廣了原本的級數求值問題。舉例,考慮所有缺數字串「42」的正整數,其倒數和約為228.44630415923081325415。又舉例,缺數字串「314159」的正整數倒數和約為2302582.33386378260789202376。(上述數值皆四捨五入至末位。)

命名

許多文獻中,級數未有命名。[4]MathWorldKempner series為條目名。[5]朱利安·哈維爾所著《伽瑪》(論歐拉-馬斯刻若尼常數)亦採用同一名稱。[6]:31–33

收斂

肯普納對數列收斂之證明[1],載於若干教科書,如哈代賴特合著《數論導論》[7]:120,亦是阿波斯托《數學分析》的習題[8]:212。證明如下。

將級數各項按分母的位數分組。由乘法原理,缺「9」的 位正整數共有 個,因為最高位有8個選擇(1至8,首位不為零),而其後 位,每位有9種選擇(0至8),且各位的選擇互相獨立。任何 位數皆不小於 ,故其倒數至多為 。所以,缺「9」的 位正整數之倒數,對級數的貢獻,至多是 。因此,將各組貢獻加總,全個級數至多為

 

若將禁止出現的「9」換成其他非零數字,則同樣的論證仍成立。至於缺「0」的情況,缺「0」的 位正整數共有 個,故缺「0」正整數的倒數和至多為:

 

若刪去含有某串 子字串的項,例如忽略所有分母含子字串「42」的項,則級數同樣收斂。證明方法幾乎一樣[3],先觀察在 進制中,刪去含有該字串為「位」的項,則前述證明適用,證出新級數收斂。但是,新級數比欲證收斂的級數更大,原因是欲證收斂的級數中,不僅刪走以該字串為 進制位的項,還刪走了跨 進制位而含該字串的項。接續前一個例子,百進制的新級數略過4217(百進制的首位是42)和1742(百進制的末位是42),但未略過1427,而欲證收斂的級數中,連1427也一併略去。

巴基爾·法喜[9]研究恰有 個數字 (滿足 )的正整數倒數和 ,此為肯普納級數的推廣,因為原級數即為 。法喜證明,對每個 ,數列  起取值遞減,且當 趨向無窮大時,收斂到 。不過,數列一般並非由 起遞減,例如原級數值為 ,比 時任意一個 更小。

數值方法

級數收斂得很慢。貝利[2]寫道,即使計算前1024項和,其後餘項仍超過1。[10]

80是很粗略的上界。弗蘭克·厄文較仔細地分析後[11],證明級數值接近23。此後,再由貝利改進到前述的22.92067…。[2]

貝利[2] 表示缺某指定數字的所有 位正整數的 次方倒數和,然後推導出,只要有齊 對所有非負整數 的值,就能遞歸計算 。於是,祗需較少的計算,已得到原級數 的準確估計。

參見

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 Kempner, A. J. A Curious Convergent Series [某稀奇的收斂級數]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1914-02, 21 (2): 48–50. ISSN 0002-9890. JSTOR 2972074. doi:10.2307/2972074 (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Baillie, Robert. Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit [缺給定數字的整數倒數和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1979-05, 86 (5): 372–374. ISSN 0002-9890. JSTOR 2321096. doi:10.2307/2321096 (英语). [10]訂正。
  3. ^ 3.0 3.1 Schmelzer, Thomas; Baillie, Robert. Summing a Curious, Slowly Convergent Series [求某稀奇而收斂得慢的級數和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 2008-06, 115 (6): 525–540. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642532. MR 2416253 (英语). 
  4. ^ 赵显曾; 冯世; 程乃毅. 调和级数的收敛子级数的和. 南京工学院学报. 1985, (3) [2021-11-08]. (原始内容存档于2021-11-08). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Kempner series. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  6. ^ Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant [伽瑪:探索歐拉常數]. Princeton: Princeton University Press. 2003. ISBN 978-0-691-09983-5 (英语). 
  7. ^ Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers [數論導論] 5th. Oxford: Clarendon Press. 1979. ISBN 0-19-853171-0 (英语). 
  8. ^ Apostol, Tom. Mathematical Analysis [數學分析]. Boston: Addison–Wesley. 1974. ISBN 0-201-00288-4 (英语).  該書有中譯本:
    Tom M. Apostol(著); 邢富冲; 邢辰; 李松洁; 贾婉丽(译). 数学分析. 华章数学译丛. 机械工业出版社. 2006. ISBN 7-111-18014-3. 
  9. ^ Farhi, Bakir. A Curious Result Related to Kempner's Series [有關肯普納級數的稀奇結果]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). December 2008, 115 (10): 933–938. Bibcode:2008arXiv0807.3518F. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642640. MR 2468554. arXiv:0807.3518  (英语). 
  10. ^ 10.0 10.1 ERRATA [勘誤]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). December 1980, 87 (10): 866. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2320815 (英语). 
  11. ^ Irwin, Frank. A Curious Convergent Series [某稀奇的收斂級數]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). May 1916, 23 (5): 149–152. ISSN 0002-9890. JSTOR 2974352. doi:10.2307/2974352 (英语).