肯普纳级数

不含數字9的正整數倒數和,是收斂級數

肯普纳级数(英语:Kempner series)是十进制写法不含数字9的正整数的倒数和。用符号可写成

其中“缺9”意思是“十进制表示中,不含数字9”,下同。奥伯利·肯普纳英语Aubrey J. Kempner于1914年最早研究该级数。[1]肯普纳级数是由调和级数删走含数字9的项所得,但肯普纳级数收敛,调和级数则发散。肯普纳证明,级数之和小于90。罗伯特·贝利[2]证明,级数准确到小数点后20位的值为22.92067661926415034816OEIS数列A082838)。

直观理解,级数收敛是因为大部分“大数”都有齐0至9的全部数字。例如,均匀随机选一个100位的正整数,很易包含至少一个数字9,于是级数不计该数的倒数。

施梅尔策与贝利[3]找到高效算法,给定任意数字串为输入,计算缺该串的正整数倒数和。此问题推广了原本的级数求值问题。举例,考虑所有缺数字串“42”的正整数,其倒数和约为228.44630415923081325415。又举例,缺数字串“314159”的正整数倒数和约为2302582.33386378260789202376。(上述数值皆四舍五入至末位。)

命名

许多文献中,级数未有命名。[4]MathWorldKempner series为条目名。[5]朱利安·哈维尔所著《伽玛》(论欧拉-马斯刻若尼常数)亦采用同一名称。[6]:31–33

收敛

肯普纳对数列收敛之证明[1],载于若干教科书,如哈代赖特合著《数论导论》[7]:120,亦是阿波斯托《数学分析》的习题[8]:212。证明如下。

将级数各项按分母的位数分组。由乘法原理,缺“9”的 位正整数共有 个,因为最高位有8个选择(1至8,首位不为零),而其后 位,每位有9种选择(0至8),且各位的选择互相独立。任何 位数皆不小于 ,故其倒数至多为 。所以,缺“9”的 位正整数之倒数,对级数的贡献,至多是 。因此,将各组贡献加总,全个级数至多为

 

若将禁止出现的“9”换成其他非零数字,则同样的论证仍成立。至于缺“0”的情况,缺“0”的 位正整数共有 个,故缺“0”正整数的倒数和至多为:

 

若删去含有某串 子字串的项,例如忽略所有分母含子字串“42”的项,则级数同样收敛。证明方法几乎一样[3],先观察在 进制中,删去含有该字串为“位”的项,则前述证明适用,证出新级数收敛。但是,新级数比欲证收敛的级数更大,原因是欲证收敛的级数中,不仅删走以该字串为 进制位的项,还删走了跨 进制位而含该字串的项。接续前一个例子,百进制的新级数略过4217(百进制的首位是42)和1742(百进制的末位是42),但未略过1427,而欲证收敛的级数中,连1427也一并略去。

巴基尔·法喜[9]研究恰有 个数字 (满足 )的正整数倒数和 ,此为肯普纳级数的推广,因为原级数即为 。法喜证明,对每个 ,数列  起取值递减,且当 趋向无穷大时,收敛到 。不过,数列一般并非由 起递减,例如原级数值为 ,比 时任意一个 更小。

数值方法

级数收敛得很慢。贝利[2]写道,即使计算前1024项和,其后余项仍超过1。[10]

80是很粗略的上界。弗兰克·厄文较仔细地分析后[11],证明级数值接近23。此后,再由贝利改进到前述的22.92067…。[2]

贝利[2] 表示缺某指定数字的所有 位正整数的 次方倒数和,然后推导出,只要有齐 对所有非负整数 的值,就能递归计算 。于是,祗需较少的计算,已得到原级数 的准确估计。

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Kempner, A. J. A Curious Convergent Series [某稀奇的收敛级数]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1914-02, 21 (2): 48–50. ISSN 0002-9890. JSTOR 2972074. doi:10.2307/2972074 (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Baillie, Robert. Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit [缺给定数字的整数倒数和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1979-05, 86 (5): 372–374. ISSN 0002-9890. JSTOR 2321096. doi:10.2307/2321096 (英语). [10]订正。
  3. ^ 3.0 3.1 Schmelzer, Thomas; Baillie, Robert. Summing a Curious, Slowly Convergent Series [求某稀奇而收敛得慢的级数和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 2008-06, 115 (6): 525–540. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642532. MR 2416253 (英语). 
  4. ^ 赵显曾; 冯世; 程乃毅. 调和级数的收敛子级数的和. 南京工学院学报. 1985, (3) [2021-11-08]. (原始内容存档于2021-11-08). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Kempner series. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  6. ^ Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant [伽玛:探索欧拉常数]. Princeton: Princeton University Press. 2003. ISBN 978-0-691-09983-5 (英语). 
  7. ^ Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers [数论导论] 5th. Oxford: Clarendon Press. 1979. ISBN 0-19-853171-0 (英语). 
  8. ^ Apostol, Tom. Mathematical Analysis [数学分析]. Boston: Addison–Wesley. 1974. ISBN 0-201-00288-4 (英语).  该书有中译本:
    Tom M. Apostol(著); 邢富冲; 邢辰; 李松洁; 贾婉丽(译). 数学分析. 华章数学译丛. 机械工业出版社. 2006. ISBN 7-111-18014-3. 
  9. ^ Farhi, Bakir. A Curious Result Related to Kempner's Series [有关肯普纳级数的稀奇结果]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). December 2008, 115 (10): 933–938. Bibcode:2008arXiv0807.3518F. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642640. MR 2468554. arXiv:0807.3518  (英语). 
  10. ^ 10.0 10.1 ERRATA [勘误]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). December 1980, 87 (10): 866. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2320815 (英语). 
  11. ^ Irwin, Frank. A Curious Convergent Series [某稀奇的收敛级数]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). May 1916, 23 (5): 149–152. ISSN 0002-9890. JSTOR 2974352. doi:10.2307/2974352 (英语).