色相環複變函數圖形

色相環複變函數圖形是一種複變函數圖形的呈現方式，是一種飽和度固定為最飽和，將色相表示函數值的輻角、明度表示函數值的絕對值來表達複變函數的定義域著色方法^[1]，這種方法又稱為色相環法（color wheel method）^[2]。

歷史

使用色相環法的定義域著色早在1980年代末就已被拉里·柯榮（英語：Larry Crone）和漢斯·隆達馬克（Hans Lundmark）首先使用。但與之相關的其他的複變函數繪圖直到1998年左右時由法蘭克·菲莉絲（英語：Frank Farris）統整併統稱為定義域著色^[3]。

方法

函數

f(z)=\sin({\frac {1}{z}})

的在第二種定義下的色相環複變函數圖形。黑色區塊有較大的絕對值。這個函數在

z=0

時存在本质奇点。

對數函數在第三種定義的圖像。

這種函數圖形表示方有有兩種：

一種原點是黑色、-1為紅色、1是青色、無限大為白色：

{\begin{aligned}H&=\pi +\arg z,\\L&=\left(1-2^{-\left|z\right|}\right)\times 100\%,\\S&=100\%.\end{aligned}}

另一種原點是白色、1為紅色、-1是青色、無限大為黑色：

{\begin{aligned}H&=\arg z,\\L&=2^{-\left|z\right|}\times 100\%,\\S&=100\%.\end{aligned}}

另外也有類似第一種的上色方式：原點是黑色、1為紅色、-1是青色、無限大為白色：

{\begin{aligned}H&=\arg z,\\L&=\left(1-2^{-\left|z\right|}\right)\times 100\%,\\S&=100\%.\end{aligned}}

更確切地說，複數的輻角（角度）以色相來表示，而模量（絕對值）以HLS色彩模型（色調、亮度、飽和度）中的亮度來表示；對於給定的（H, L）數對，在這個模型中選擇最大飽和度值來呈現指定的複數。這幾種上色方式，最鮮豔的顏色以旋轉的方式出現在複數高斯平面的單位圓上，根據面兩種定義，1的六個六次方根（從1開始、逆時針）顏色分別為紅色、黃色、綠色、青藍、藍色和洋紅。此外，在這種配置上，兩個非常接近的複數其亮度值也會非常接近，若其輻角相同，則絕對值較大者，根據第一和最後一種定義，其顏色會較淺；根據第二種定義，其顏色會較深，反之亦然。

然而，HSL色彩空間在視覺上並不均勻，而導致在黃色、青色和品紅色表達的複數出現亮度差異的條紋，即使其絕對值與紅色、綠色和藍色相同條紋仍明顯可見，在單位圓上（ $L={\frac {1}{2}}$ ）附近也可以見到一圈明顯的暈圈。Lab等色彩空間更加接近人類感知，可以校正HSL的不均勻問題，使圖像視覺上更準確、更加柔和^{[註 1]}。

針對色相環複變函數圖形，為了使圖像具可比較性，數學函數數位圖書館(The Digital Library of Mathematical Functions, DLMF)對此定義了一套標準的色彩配置方式^[4]。

複數色彩空間

複數色彩空間是這種定義域著色方法的色彩空間，每個複數皆有對應唯一一種顏色，但是由於其定義上飽和度為定值，因此在這個色彩空間中並非所有色彩都能對應到一個複數。但這種色彩空間和HSL色彩空間一樣在視覺上有不均勻的缺點，因此數位圖書館有一套將標準色相環進行微調，其將單位為弧度的色相值以 $\left[0,2\pi \right)\to \left[0,4\right)$ 映射到q，然後以公式換算^[4]：