在数学 之概率论 中，尤其是随机过程 理论中，查普曼-科尔莫戈罗夫等式是一个重要的结论。它将一个随机过程的几个不同维的联合分布函数 联系在一起。
假设 { f i
p
i
1
,
…
,
i
n
(
f
1
,
…
,
f
n
)
{\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}
为从f1 到fn 的各随机变量的联合分布函数，则查普曼-科尔莫戈罗夫等式为：
p
i
1
,
…
,
i
n
−
1
(
f
1
,
…
,
f
n
−
1
)
=
∫
−
∞
∞
p
i
1
,
…
,
i
n
(
f
1
,
…
,
f
n
)
d
f
n
{\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}
也就是说，这是一个直接定义在干扰随机变量 上的条件概率 。 （注意这里各随机变量的顺序不重要）
该公式名称来自数学家西德尼·查普曼 和安德雷·柯尔莫哥洛夫 。
如果随机过程特定为马尔可夫链 ，查普曼-科尔莫戈罗夫等式就是关于转移概率的公式。在马尔可夫链 中，随机变量在一个按时间排序的数组
i
1
<
…
<
i
n
{\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{n}}
马尔可夫性质 （无记忆性质）,
p
i
1
,
…
,
i
n
(
f
1
,
…
,
f
n
)
=
p
i
1
(
f
1
)
p
i
2
;
i
1
(
f
2
∣
f
1
)
⋯
p
i
n
;
i
n
−
1
(
f
n
∣
f
n
−
1
)
,
{\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}{\mid }f_{n-1}),}
（其中条件概率
p
i
;
j
(
f
i
∣
f
j
)
{\displaystyle p_{i;j}(f_{i}{\mid }f_{j})}
i
>
j
{\displaystyle i>j}
转移概率 。查普曼-科尔莫戈罗夫等式简化为：
p
i
3
;
i
1
(
f
3
∣
f
1
)
=
∫
−
∞
∞
p
i
3
;
i
2
(
f
3
∣
f
2
)
p
i
2
;
i
1
(
f
2
∣
f
1
)
d
f
2
.
{\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}{\mid }f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})df_{2}.}
如果马尔可夫链的状态空间的概率分布是离散的，查普曼-科尔莫戈罗夫等式可表示为（可到无穷维的）矩阵相乘 ：
P
(
t
+
s
)
=
P
(
t
)
P
(
s
)
{\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}
（其中
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
X
t
{\displaystyle X_{t}}
t 时间的系统状态），则对于系统状态空间中的任意两个点i 和j ：
P
i
j
(
t
)
=
P
(
X
t
=
j
∣
X
0
=
i
)
.
{\displaystyle P_{ij}(t)=P(X_{t}=j\mid X_{0}=i).}
