在數學 之概率論 中，尤其是隨機過程 理論中，查普曼-科爾莫戈羅夫等式是一個重要的結論。它將一個隨機過程的幾個不同維的聯合分布函數 聯繫在一起。
假設 { f i
p
i
1
,
…
,
i
n
(
f
1
,
…
,
f
n
)
{\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}
為從f1 到fn 的各隨機變量的聯合分布函數，則查普曼-科爾莫戈羅夫等式為：
p
i
1
,
…
,
i
n
−
1
(
f
1
,
…
,
f
n
−
1
)
=
∫
−
∞
∞
p
i
1
,
…
,
i
n
(
f
1
,
…
,
f
n
)
d
f
n
{\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}
也就是說，這是一個直接定義在干擾隨機變量 上的條件概率 。 （注意這裡各隨機變量的順序不重要）
該公式名稱來自數學家西德尼·查普曼 和安德雷·柯爾莫哥洛夫 。
如果隨機過程特定為馬爾可夫鏈 ，查普曼-科爾莫戈羅夫等式就是關於轉移概率的公式。在馬爾可夫鏈 中，隨機變量在一個按時間排序的數組
i
1
<
…
<
i
n
{\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{n}}
馬爾可夫性質 （無記憶性質）,
p
i
1
,
…
,
i
n
(
f
1
,
…
,
f
n
)
=
p
i
1
(
f
1
)
p
i
2
;
i
1
(
f
2
∣
f
1
)
⋯
p
i
n
;
i
n
−
1
(
f
n
∣
f
n
−
1
)
,
{\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}{\mid }f_{n-1}),}
（其中條件概率
p
i
;
j
(
f
i
∣
f
j
)
{\displaystyle p_{i;j}(f_{i}{\mid }f_{j})}
i
>
j
{\displaystyle i>j}
轉移概率 。查普曼-科爾莫戈羅夫等式簡化為：
p
i
3
;
i
1
(
f
3
∣
f
1
)
=
∫
−
∞
∞
p
i
3
;
i
2
(
f
3
∣
f
2
)
p
i
2
;
i
1
(
f
2
∣
f
1
)
d
f
2
.
{\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}{\mid }f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})df_{2}.}
如果馬爾可夫鏈的狀態空間的概率分布是離散的，查普曼-科爾莫戈羅夫等式可表示為（可到無窮維的）矩陣相乘 ：
P
(
t
+
s
)
=
P
(
t
)
P
(
s
)
{\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}
（其中
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
X
t
{\displaystyle X_{t}}
t 時間的系統狀態），則對於系統狀態空間中的任意兩個點i 和j ：
P
i
j
(
t
)
=
P
(
X
t
=
j
∣
X
0
=
i
)
.
{\displaystyle P_{ij}(t)=P(X_{t}=j\mid X_{0}=i).}
