设
u
{\displaystyle u}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
紧支撑 的光滑函数 ，考虑下面的常数 系数微分算子：
P
(
D
)
:=
∑
α
c
α
D
α
{\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\,D^{\alpha }}
利用傅立叶变换 ，可以将这个微分算子用另外一种等价的形式表达：
首先将这个算子的傅立叶变换写出，
P
(
ξ
)
=
∑
α
c
α
ξ
α
{\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\,\xi ^{\alpha }}
注意这里已经将微分变换为频率域 中的乘法 ，所以整个算子的傅立叶变换成为一个频率域中的多项式 。我们一般称其为一个符号 （symbol ）。
这个符号的傅立叶逆变换为
(
1
)
P
(
D
)
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
R
n
∫
R
n
e
i
(
x
−
y
)
ξ
P
(
ξ
)
u
(
y
)
d
y
d
ξ
{\displaystyle (1)\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)dyd\xi }
注意，上面的
α
=
(
α
1
,
…
,
α
n
)
∈
N
0
n
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}}
多重指标 ，而
D
α
{\displaystyle D^{\alpha }}
D
α
=
(
−
i
∂
1
)
α
1
…
(
−
i
∂
n
)
α
n
{\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\dots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}
∂
j
{\displaystyle \partial _{j}}
j
{\displaystyle j}
C
α
{\displaystyle C_{\alpha }}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
从
(
1
)
{\displaystyle (1)}
伪微分算子 也可以这样定义：
(
2
)
P
(
x
,
D
)
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
R
n
∫
R
n
e
i
(
x
−
y
)
ξ
P
(
x
,
ξ
)
u
(
y
)
d
y
d
ξ
{\displaystyle (2)\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi }
与
(
1
)
{\displaystyle (1)}
P
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle P(x,\xi )}
如上选取的
u
{\displaystyle u}
u
^
(
ξ
)
:=
∫
e
−
i
y
ξ
u
(
y
)
d
y
{\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)dy}
而从傅立叶逆变换公式可以知道
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
e
i
x
ξ
u
^
(
ξ
)
d
ξ
=
1
(
2
π
)
n
∫
∫
e
i
(
x
−
y
)
ξ
u
(
y
)
d
y
d
ξ
{\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }u(y)dyd\xi }
将
P
(
D
)
{\displaystyle P(D)}
u
{\displaystyle u}
P
(
D
x
)
e
i
(
x
−
y
)
ξ
=
e
i
(
x
−
y
)
ξ
P
(
ξ
)
{\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )}
由此就得到了
(
1
)
{\displaystyle (1)}
为了求解方程
P
(
D
)
u
=
f
{\displaystyle P(D)\,u=f}
我们可以形式地将傅立叶变换应用于方程两边，从而得到一个代数的 方程
P
(
ξ
)
u
^
(
ξ
)
=
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )}
如果符号
P
(
ξ
)
{\displaystyle P(\xi )}
ξ
∈
R
n
{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}
0
{\displaystyle 0}
P
(
ξ
)
{\displaystyle P(\xi )}
u
^
(
ξ
)
=
1
P
(
ξ
)
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}
由傅立叶逆变换公式，则可以得到一个解
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
e
i
x
ξ
1
P
(
ξ
)
f
^
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )d\xi }
请注意我们的假设：
P
(
D
)
{\displaystyle P(D)}
常 系数的微分算子。它的符号
P
(
ξ
)
{\displaystyle P(\xi )}
0
{\displaystyle 0}
u
{\displaystyle u}
f
{\displaystyle f}
最后一个条件可以利用和分布 相关的定理减弱（这里的分布不是统计中的分布，而是分析中的概念），而前面两个条件则可以利用如下的方法减弱：
将
f
{\displaystyle f}
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
∫
e
i
(
x
−
y
)
ξ
1
P
(
ξ
)
f
(
y
)
d
y
d
ξ
{\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)dyd\xi }
此式的形式与
(
1
)
{\displaystyle (1)}
1
P
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {1}{P(\xi )}}}
我们核心的目的是通过公式
(
1
)
{\displaystyle (1)}
P
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle P(x,\xi )}
P
(
x
,
D
)
{\displaystyle P(x,D)}
P
(
x
,
D
)
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
R
n
∫
R
n
e
i
(
x
−
y
)
ξ
P
(
x
,
ξ
)
u
(
y
)
d
y
d
ξ
.
{\displaystyle P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi .}
因此假设
P
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle P(x,\xi )}
符号类 。
例如，如果
P
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle P(x,\xi )}
R
n
×
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}
x
,
ξ
{\displaystyle x,\xi }
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
C
α
,
β
{\displaystyle C_{\alpha ,\beta }}
m
{\displaystyle m}
P
{\displaystyle P}
|
∂
ξ
α
∂
x
β
P
(
x
,
ξ
)
|
≤
C
α
,
β
(
1
+
|
ξ
|
)
m
−
|
α
|
{\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}
那么
P
{\displaystyle P}
Hörmander类
S
1
,
0
m
{\displaystyle S_{1,0}^{m}}
而对应的算子
P
(
x
,
D
)
{\displaystyle P(x,D)}
m
{\displaystyle m}
Ψ
1
,
0
m
{\displaystyle \Psi _{1,0}^{m}}
