勒让德变换

勒让德变换（英语：Legendre transformation）是一个在数学和物理中常见的技巧，得名于阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。

xy-图展示出函数 $f(x)\,\!$ 的勒让德变换。函数用红色表示，在切点 $(x_{0},\ f(x_{0}))\,\!$ 的切线用蓝色表示。切线与 y-轴相交于点 $(0,\ -f^{*})\,\!$ ；这里，$f^{*}\,\!$ 是勒让德变换 $f^{*}(p_{0})\,\!$ 的值，$p_{0}={\dot {f}}(x_{0})\,\!$ 。特别注意，穿过在红线上任何其它点，而拥有同样斜率 ${\dot {f}}(x_{0})\,\!$ 的直线，其与 y-轴相交点必定比点 $(0,\ -f^{*})\,\!$ 高，证明 $f^{*}\,\!$ 确实是极大值。

概述

为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系 $f(x)\,\!$ 改用一个新函数 $f^{\star }(p)\,\!$ 来表示，其变量 $p\,\!$ 是 $f(x)\,\!$ 的导数，$p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!$ 。而 $f^{\star }(p)\,\!$ 的值是如右图蓝线在 y 轴的负截距

换句话说，从$(x,f(x))\,\!$ x 值到 y 值的函数，变换成$(p,f^{\star }(p))\,\!$ f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数

这程序是由阿德里安-马里·勒让德所发明的，因此称为勒让德变换。称函数 $f^{\star }(p)\,\!$ 为 $f(x)\,\!$ 的勒让德变换；

用方程表示

$f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!$ 。

此式子表示 $f^{\star }(p)=pu-f(u)$ 中的 u 对 $f^{\star }(p)$ 而言是个参数，且参数 u 会满足 ${{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!$ 的 $u$。即求算表达式关于变量 $u\,\!$ 的极值。

为方便讨论，把讨论限定在 $f(x)$为严格单调递增。会有这方程是因为在 $p=f'(x_{0})$ 也就是斜率不变的状况下，对每个$x_{0}$而言，所有与曲线$(u,f(u))$相交且斜率为$f'(x_{0})$的直线族为 $y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)\,\!$。若令$u=x_{0}$，该直线即是$f(x)$在$x_{0}$的切线方程。把x当作常数并由右图直接观察可知，在$u=x_{0}$的情况下，$y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)=f'(x_{0})x-[f'(x_{0})u-f(u)]$值是最小的，也就是说直线方程中$[f'(x_{0})u-f(u)]$这部分是最大的，而正好 $f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!$，正是原方程所求的极值。

勒让德变换是点与线之间对偶性关系（duality）的一个应用。函数 $f(x)\,\!$ 设定的函数关系可以用 $(x,\ y=f(x))\,\!$ 点集合来表示；也可以用切线(在严格单调递增的讨论下，切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。

若将勒让德变换广义化，则会变为勒让德-芬伽变换（Legendre-Fenchel transformation）。勒让德变换时常用于热力学与哈密顿力学。

定义

给定区间I ⊂ ℝ和凸函数f : I → ℝ，则其勒让德变换为函数f* : I* → ℝ，

$f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\quad x^{*}\in I^{*}$

其中$\sup$表示上确界，定义域$I^{*}$为

$I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}~.$

当f(x)为凸函数时，这个函数有良好的定义。

不难将勒让德变换推广到定义在凸集X ⊂ ℝⁿ 上的凸函数f : X → ℝ：其变换f * : X* → ℝ为定义在

$X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}$

上的函数

$f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,$

其中$\langle x^{*},x\rangle$表示x*和 x的点积。

从导数的角度理解勒让德变换

对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数$f$，其勒让德变换 $f^{*}$的一阶导数与$f$的一阶导数互为反函数，反过来说，这个条件可以给出至多相差一个常数的$f^{*}$。

最大值式定义

更详细地定义勒让德变换，为了求得 $L(x,\ p)=px-f(x)\,\!$ 关于 $x\,\!$ 的最大值，设定 $L(x,\ p)\,\!$ 关于 $x\,\!$ 的偏导数为零：

${\frac {\partial }{\partial x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0\,\!$ 。

则

$p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\,\!$ 。(1)

这表达式必为最大值。因为，凸函数 $L(x,\ p)\,\!$ 的二阶导数是负数：

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0\,\!$ ；

用方程 (1) 来计算函数 $f\,\!$ 的反函数 $x=g(p)\,\!$ 。代入 $L(x,\ p)\,\!$ 方程，即可以得到想要的形式：

$f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!$ 。

计算 $f(x)\,\!$ 的勒让德变换，所需的步骤为：

1. 找出导函数 $p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!$ ，
2. 计算导函数 $p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!$ 的反函数 $x=g(p)\,\!$ ，
3. 代入 $F(x)\,\!$ 方程来求得新函数 $f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!$ 。

这定义切确地阐明：勒让德变换制造出一个新函数 $f^{\star }(p)\,\!$ ；其新自变量为 $p={\mathrm {d} f \over \mathrm {d} x}\,\!$ 。

反函数式定义

另外一种勒让德变换的定义是：假若两个函数 $f(x)\,\!$ 与 $f^{\star }(p)\,\!$ 的一阶导数是互相的反函数；

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}\right)^{-1}(x)\,\!$ ，

或者，

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}(p)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f\right)^{-1}(p)\,\!$ ，

则 $f\,\!$ 与 $f^{\star }\,\!$ 互相为彼此的勒让德变换。

依照定义，

${\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=p\,\!$ ，

${\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!$ 。

思考下述运算：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}(xp-f(x))=x+p{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}=x={\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!$ 。

所以，

$f^{\star }(p)=xp-f(x)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!$ ；

这里，$x=g(p)\,\!$ 。

这答案是标准答案；但并不是唯一的答案。设定

$f^{\star }(p)=f(x)-xp\,\!$ ，

也可以满足定义的要求。在某些情况下（例如：热力势（thermodynamic potential），会采用非标准的答案。除非另外注明，此页面一律采用标准答案。

数学性质

以下讨论，函数 $f\,\!$ 的勒让德变换皆标记为 $f^{\star }\,\!$ 。

标度性质

勒让德变换有以下这些标度性质：

$f(x)=a\cdot g(x)\rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!$ ，

$f(x)=g(a\cdot x)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!$ ，

由此可知，一个 $r\,\!$ 次齐次函数的勒让德变换是一个 $s\,\!$ 次齐次函数；这里，

${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1\,\!$ 。

平移性质

$f(x)=g(x)+b\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b\,\!$ ，

$f(x)=g(x+y)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y\,\!$ 。

反演性质

$f(x)=g^{-1}(x)\rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)\,\!$ 。

线形变换性质

让 $A\,\!$ 成为一个从 $R^{n}\,\!$ 到 $R^{m}\,\!$ 的线形变换。对于任何定义域为 $R^{n}\,\!$ 的凸函数 $f\,\!$ ，必有

$\left(Af\right)^{\star }=f^{\star }A^{\star }\,\!$ ；

这里，$A^{\star }\,\!$ 是 $A\,\!$ 的伴随算子定义为

$\left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle \,\!$ 。

例子

例一

e^x（红色实线）与其勒让德变换（蓝色虚线）。

指数函数

$f(x)=e^{x}$

的勒让德变换为

$f^{*}(p)=p(\ln p-1)$，

因为它们的一阶导数 e^x与 ln p互为反函数。

应用

勒让德变换

热力学

在热力学里，使用勒让德变换主要的目的是，将一个函数与所含有的一个自变量，变换为一个新函数与所含有的一个新自变量，（此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数）；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。勒让德变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作变换。例如，内能 $U\,\!$ 是外延量（extensive）熵 $S\,\!$ ，体积 $V\,\!$ ，与化学成分（chemical composition）$N_{i}\,\!$ 的显函数

$U=U(S,\ V,\ \{N_{i}\})\,\!$ 。

对于 $-PV\,\!$ ，函数 $U\,\!$ （非标准的）勒让德变换为焓函数 $H\,\!$ ：

$H(S,\ P,\ \{N_{i}\})=U+PV\,\!$ ，

$P=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,\ \{N_{i}\}}\,\!$ 。

一个熵与内含量（intensive）压力的函数。当压力是常数时，这函数很有用。

对于 $TS\,\!$ ，函数 $H\,\!$ 勒让德变换为吉布斯能函数 $G\,\!$ :

$G(T,\ P,\ \{N_{i}\})=H-TS\,\!$ ，

$T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{P,\ \{N_{i}\}}\,\!$ 。

对于 $TS\,\!$ ，函数 $U\,\!$ 勒让德变换为亥姆霍兹自由能函数 $A\,\!$ :

$A(T,\ V,\ \{N_{i}\})=U-TS\,\!$ ，

$T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\ \{N_{i}\}}\,\!$ 。

这些自由能函数时常用在常温的物理系统。

经典力学(哈密顿力学)

在经典力学里，勒让德变换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述，或反导之。拉格朗日量 ${\mathcal {L}}\,\!$ 是广义坐标 $\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!$ 与广义速度 ${\dot {\mathbf {q} }}\,\!$ 的函数；而哈密顿量 ${\mathcal {H}}\,\!$ 将函数的自变量变换为广义坐标 $\mathbf {q} \,\!$ 与广义动量 $\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!$ ：

$\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\,\!$ ，

${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ t)\,\!$ 。

正则变换

正则变换广泛地应用勒让德变换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变，$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )\,\!\,\!$ ，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程为

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}\,\!\,\!$ ，

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=-{\dot {\mathbf {P} }}\,\!\,\!$ ，

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}\,\!$ ；

这里，$\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!$ 是旧正则坐标，$\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} \,\!$ 是新正则坐标，${\mathcal {H}}\,\!$ 是旧哈密顿量，${\mathcal {K}}\,\!$ 是新哈密顿量，$G\,\!$ 是生成函数。

参阅

• 哈密顿力学
• 切触几何
• 正则变换

参考文献

• Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3. 
• Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.