半双线性形式

在数学中，在复数向量空间V上的半双线性形式是映射V × V → C，它在一个参数上是线性的而在另一个参数上是反线性（半线性）的。比较于双线性形式，它在两个参数上都是线性的；要注意很多作者尤其是在只处理复数情况的时候，把半双线性形式称为双线性形式。

一个主要例子是在复数向量空间上的内积，它不是双线性的而是半双线性的。

定义和习惯

对哪个参数应当是线性的有不同的习惯。这里采用第一个是半线性（共轭线性）而第二个参数是线性。基本上所有物理学家皆使用这习惯，这习惯起源于狄拉克在量子力学中使用的狄拉克符号。数学家则可能使用相反的习惯。

指定映射φ : V × V → C是半双线性的，如果

${\begin{aligned}&\phi (x+y,z+w)=\phi (x,z)+\phi (x,w)+\phi (y,z)+\phi (y,w)\\&\phi (ax,by)={\bar {a}}b\,\phi (x,y)\end{aligned}}$

对于所有x,y,z,w ∈ V和所有a, b ∈ C。

半双线性形式可以被看作双线性形式

${\bar {V}}\times V\to \mathbb {C}$

这里的${\bar {V}}$是V的复共轭向量空间。通过张量积的泛性质，它一一对应于(复数)线性映射

${\bar {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .$

对于V中固定的z，映射$w\mapsto \phi (z,w)$是在V上的线性泛函（也就是对偶空间V* 的一个元素）。类似的，映射$w\mapsto \phi (w,z)$是V上的共轭线性泛函。

给定V上任何半双线性形式φ，我们可以通过共轭转置定义第二个半双线性形式ψ：

$\psi (w,z)={\overline {\phi (z,w)}}$

一般而言，ψ和φ是不同的。如果它们相等，则φ被称为Hermitian形式。如果它们相互为负值，则φ被称为斜-Hermitian形式。所有半双线性形式可以写为一个Hermitian形式和一个斜-Hermitian形式的和。

几何动机

双线性形式一般化了平方（$z^{2}\,$），而半双线性形式一般化了欧几里得范数（$|z|^{2}=z^{*}z\,$）。

关联于半双线性形式的范数在乘以复数圆（单位范数的复数）的乘法下是不变的，而关联于双线性形式的范数是（关于平方）等变的。双线性形式在代数上更加自然，而半双线性在几何上更加自然。

如果B是在复数向量空间上的双线性形式而 $|x|_{B}:=B(x,x)\,$是关联的范数，则 $|ix|_{B}=B(ix,ix)=i^{2}B(x,x)=-|x|_{B}\,$。

相反的，如果S是在复数向量空间上的半双线性形式而 $|x|_{S}:=S(x,x)\,$是关联的范数，则 $|ix|_{S}=S(ix,ix)={\bar {i}}iS(x,x)=|x|_{S}\,$。

埃尔米特形式

这个术语还称呼在埃尔米特流形上的特定微分形式。

埃尔米特形式（也叫做对称半双线性形式）是半双线性形式h : V × V → C，有着

$h(w,z)={\overline {h(z,w)}}$

在Cⁿ上的标准埃尔米特形式为

$\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.$

更一般的说，在任何希尔伯特空间上的内积都是埃尔米特形式。

如果V是有限维的空间，则相对于V的任何基{e_i}，埃尔米特形式可表示为埃尔米特矩阵H：

$h(w,z)={\overline {\mathbf {w} }}^{T}\mathbf {Hz}$

H的分量给出为H_ij = h(e_i, e_j)。

关联于埃尔米特形式的二次形式

Q(z) = h(z,z)

总是实数的。实际上可证明半双线性形式是埃尔米特形式，当且仅当关联的二次形式是实数的，对于所有z ∈ V。

斜-埃尔米特形式

斜-埃尔米特形式（也叫做反对称半双线性形式）是半双线性形式ε : V × V → C，有着

$\varepsilon (w,z)=-{\overline {\varepsilon (z,w)}}$

所有斜埃尔米特形式可以写为i乘以埃尔米特形式。

如果V是有限维空间，则相对于任何V的基{e_i}，斜埃尔米特形式可表示为斜埃尔米特矩阵A：

$\varepsilon (w,z)={\overline {\mathbf {w} }}^{T}\mathbf {Az}$

关联于斜埃尔米特形式的二次形式

Q(z) = ε(z,z)

总是纯虚数。