哈代—拉马努金定理

数学上,哈代—拉马努金定理是由拉马努金证明、由哈代检验的公式。[1]公式断言,若是正整数彼此相异的质因数个数,那么其正常阶英语normal order of an arithmetic function

换句话说,绝大多数的正整数相异的质因数个数大略为

精确描述

一个更精确的叙述是,若 是任意实数函数,且在 趋近于无限时会趋近于无限的话,那么以下关系式对几乎所有的整数成立(也就是例外的比例无限小):

 

更传统的关系式如下:

 

换句话说,若 是不大于 且是上式例外的正整数 的个数的话,那么在 趋近于无限时, 趋近于零。

历史

图兰·帕尔在1934年找到了上式的简单证明,他用图兰筛法证明了下式:(Turán (1934)

 

推广

若将 换成 ,即正整数 质因数总数、将重复质因数重复计算,类似的结果仍然成立。

另外,这定理后来被推广为艾狄胥—卡滋定理英语Erdős–Kac theorem;而艾狄胥—卡滋定理指出 的数值基本呈现正态分布

参考资料