量子力学里,定态(stationary state)是一种量子态,定态的概率密度与时间无关。以方程表式,定态的概率密度对于时间的导数为

设想经典力学里的谐振子 系统(A-B),一条弹簧的一端固定不动,另一端有一个带质量圆球;在量子力学里, (C-H)展示出同样系统的薛定谔方程的六个波函数解。横轴坐标表示位置,竖轴坐标表示概率幅的实部(蓝色)或虚部(红色)。(C-F)是定态,(G、H)不是定态。定态的能量为驻波振动频率与约化普朗克常数的乘积。
描述谐振子的含时薛定谔方程的三个波函数解。左边:波函数概率幅的实部(蓝色)或虚部(红色)。右边:找到粒子在某位置的概率,这说明了为什么概率与时间无关的量子态被称为“定态”。上面两个横排是定态,最下面横排是叠加态

其中, 是定态的波函数 是位置, 是时间 。

设定一个量子系统的含时薛定谔方程

其中,约化普朗克常数 是质量,位势

这个方程有一个定态的波函数解:

其中, 的不含时间部分, 是能量。

将这定态波函数代入含时薛定谔方程,则可除去时间关系:

这是一个不含时薛定谔方程,可以用来求得本征能量 与伴随的本征函数 。定态的能量都是明确的,是定态薛定谔方程的本征能量 ,波函数 是定态薛定谔方程的本征函数

概率密度与时间无关

虽然定态   很明显的含时间。含时间部分是个相位因子。定态的概率密度不含有相位因子这项目:

 

所以,定态的概率密度与时间无关。一个直接的后果就是期望值也都与时间无关。例如,位置的期望值  

 

再举一例,动量的期望值  

 

所以,   都与时间无关。一般而言,给予任意一个位置与动量的函数   ,期望值   必然与时间无关。

参阅

参考文献

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.