抽象代数中,一个 上的平坦模是一个 - ,使得函子 保持序列的正合性;若此函子还是忠实函子,则称之为忠实平坦模

上的向量空间都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部诺特环上的有限生成模,平坦性、射影性与自由性三者等价。

塞尔的论文《代数几何与微分几何》以降,平坦性便在同调代数代数几何中扮演重要角色。其几何意义甚深,详见条目平坦态射

交换环的情形

  为交换环,一个  -模的平坦性等价于   是个从  -模到 -模之正合函子

将环   对一个积性子集  局部化   视作  -模,则它是平坦的。

 诺特环  是有限生成  -模时,平坦性在下述意义等价于局部自由模  是平坦  -模当且仅当对任何素理想  ,局部化   是自由  -模。事实上,对条件中的   仅须考虑极大理想即可。

一般的环

  非交换时的定义须作如下修改:假设   是左  -模,则称之左平坦模,当且仅当对   的张量积将右  -模的正合序列映至阿贝尔群的正合序列。

环上的张量积总是右正合函子,所以左  -模   是平坦模的充要条件是:对任何右  -模的单射  ,取张量积后的同态   仍为单射。

极限

一般来说,平坦模的归纳极限仍是平坦模;此陈述可由    的伴随性质形式地推出。平坦模的子模与商模不一定是平坦模,然而我们有下述定理:一个平坦模的同态像是平坦模,当且仅当其核为纯子模

Lazard 在1969年证明了:模   平坦的充要条件是它可表成有限生成自由模的归纳极限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一个阿贝尔群是平坦  -模的充要条件是其中没有挠元。

同调代数

与Tor函子的关系

平坦性也可以用Tor函子的消没性表示。Tor函子是张量积的左导函子。一个左  -模   的平坦性等价于  ;类此,一个右  -模   的平坦性等价于  。藉Tor函子的长正合序列可以导出下列关于基本性质:

考虑短正合序列

 
  •   平坦,则   亦然。
  •   平坦,则   亦然。
  •   平坦,  不一定平坦;若假设   纯子模  平坦,则可推出    皆平坦。

局部判准

  为交换环,  为一理想,则我们有下述平坦性的局部判准

定理(Bourbaki). 以下诸条件等价:

  1.   是平坦  -模。
  2.   是平坦  -模,且  
  3.   是平坦  -模,且典范同态   为同构。
  4. 对所有  -模  ,有  
  5. 对所有  -模  ,有  
  6. 对所有    是平坦  -模。
  7.   是平坦  -模,且典范态射   为同构。

此判准在代数几何中的用途尤大。

平坦分解

一个模  平坦分解是如下形式的正合序列:

 

使得其中每个   都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠实平坦模

一个  -模   被称作忠实平坦的,当且仅当   是个忠实的正合函子。这也就是说:

  1.   是个平坦  -模。
  2. 典范映射   是单射。

  为交换环时,有以下几种等价的刻划:

  •   是忠实平坦的。
  •   是平坦的,且  
  •   是平坦的,且对所有极大理想   都有  
  • 一个序列   正合,当且仅当   正合。

文献

  • Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
  • Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.