库尔卡尼-野水积

在数学的微分几何学中，库尔卡尼-野水积（英语：Kulkarni–Nomizu product）是对两个对称(0,2)-张量定义，给出一个(0,4)-张量。库尔卡尼－野水积是命名自拉温德拉·什里帕德·库尔卡尼和野水克己。

若h和k是对称(0,2)-张量，定义其积为

${\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k)(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):=&h(X_{1},X_{3})k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})k(X_{1},X_{3})\\&-h(X_{1},X_{4})k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})k(X_{1},X_{4})\end{aligned}}$

其中X_j是切向量。

从上可见$h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k=k{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}h$。

两个对称张量的库尔卡尼－野水积，有黎曼张量的代数对称性。因此，库尔卡尼－野水积常用以表示里奇曲率张量和外尔张量在黎曼流形的曲率中的构成部分。这是在微分几何中有用的里奇分解。

一个黎曼流形有常截面曲率k，当且仅当黎曼张量有以下形式

$R={\frac {k}{2}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}g$

其中g是度量张量。

参考

• Besse, Arthur L., Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag: xii+510, 1987, ISBN 978-3-540-15279-8 .
• Gallot, S., Hullin, D., and Lafontaine, J. Riemannian Geometry. Springer-Verlag. 1990.