弱*拓扑

弱*拓扑是赋范向量空间的对偶空间上的一种拓扑。弱*拓扑的的重要性，在于它使得单位球是紧集（巴拿赫-阿劳格鲁定理）；相反地在线性算子范数诱发的拓扑中，单位球未必紧致。（结果成立当且仅当赋范向量空间为有限维。）

定义

在域$\mathbb {K}$（$\mathbb {K}$是$\mathbb {R}$或$\mathbb {C}$）上的赋范空间$E$中，每一个元素$x$，都可以定义对偶空间$E^{*}$上的一个线性算子${\hat {x}}(f):=f(x)$。弱*拓扑是在$E^{*}$上最弱的拓扑，使得所有这样的${\hat {x}}:E^{*}\to \mathbb {K}$都是连续的。

弱*拓扑可以更具体的定义，在$E^{*}$上给出它的邻域基：对任何$f\in E^{*}$，集合

$U_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n},\epsilon ):=\{g\in E^{*};|f(x_{j})-g(x_{j})|<\epsilon ,j=1,\ldots ,n\}$

其中$x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }$，$\epsilon >0$，是$f$的弱*开的邻域基。

收敛

弱*拓扑的收敛条件很简单：序列$(f_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$在弱*拓扑中收敛，如果对任何$x\in E$都有$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$，即$f_{n}$逐点收敛到$f$。弱*收敛记作$f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$。

弱*收敛性比依范数收敛性弱。如果$\|f-f_{n}\|\to 0$，其中$\|\cdot \|$是$E^{*}$的范数，则$f_{n}$必然逐点收敛于$f$，因而有$f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$；但是，$f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$不一定有$\|f-f_{n}\|\to 0$，甚至可能$\|f_{n}\|\nrightarrow \|f\|$。

半范数

对偶空间$E^{*}$加上弱*拓扑是一个局部凸空间，因此可以由给予$E^{*}$一个半范数的系统定义弱*拓扑。对$x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }$，

$p_{x_{1},\ldots x_{n}}(f):=\max\{|f(x_{1})|,\ldots ,|f(x_{n})|\}$,

构成这样一个半范数的系统。

参考

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968