扭棱四面体

几何学中,扭棱四面体是指正四面体经过扭棱变换后所形成的多面体。其拓朴结构与正二十面体等价。一般会将这种立体的面分为3组,一组是原始四面体的面,另一组是来自原像顶点图的面,另一组是扭棱变换过程中所形成的面。若两组面构成的三角形不全等,其结果立体将会变成一个外观与正二十面体非常相似,但不相同的立体,因此又称伪正二十面体[1],其具备五角十二面体(黄铁矿晶型)对称性[2]。部分文献将这种立体称为扭棱八面体(snub octahedron)[3]、扭棱截半四面体(或扭棱四-四面体,snub tetratetrahedron)[4]。部分矿石的晶体结构会结晶成这种形状。[5]

扭棱四面体
扭棱四面体
类别凸多面体
对偶多面体五角十二面体
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_h 3 node_h 4 node  (五角十二面体对称)
node_h 3 node_h 3 node_h  (四面体对称)
性质
20
30
顶点12
欧拉特征数F=20, E=30, V=12 (χ=2)
组成与布局
面的种类8个正三角形
12个等腰三角形
对称性
对称群Th, [4,3+], (3*2), order 24
旋转对称群
英语Rotation_groups
Td, [3,3]+, (332), order 12
特性
图像

五角十二面体
对偶多面体

展开图

这个立体是五角十二面体对偶多面体[6]

性质

扭棱四面体是一种二十面体,由20个三角形组成。扭棱四面体可以视为四面体经过扭棱变换所形成的立体,在扭棱的过程中会形成3种面,一种是原始四面体的面、另一种是来自原像顶点图的面、还有一种是扭棱变换过程中所形成的面。若这三种面皆全等,整个立体将与正二十面体无异。[7][8]

 
四面体扭棱成扭棱四面体的过程, 其中蓝色的面代表原始四面体的面; 红色的面代表来自原像顶点图的面; 白色的面代表扭棱变换过程中所形成的面

拓朴结构

扭棱四面体的拓朴结构与正二十面体等价[5]。若将四面体扭棱过程中所形成的面两两合并为1个菱形,则其拓朴结构与截半立方体相同。[4]

 

顶点座标

这种立体的顶点座标可以用 的循环排列来构造,这个顶点排构建方式又可视为是交错截角的截角八面体,其与耶森二十面体相同,但顶点间相连方式不同[9]。而若取 则会变为正二十面体,其中 黄金比例[1]

耶森二十面体

耶森二十面体是一个与扭棱四面体相同顶点排列方式的立体,但耶森二十面体顶点间的相连方式与扭棱四面体不同。耶森二十面体是非凸多面体,并具有直角的二面角。[10]

 

对偶多面体

 
五角十二面体

这种立体因为外观与正二十面体十分类似,但不是正多面体因此又被称为伪正二十面体。其对偶多面体也非常类似正二十面体的对偶多面体——正十二面体,然而其也不是正多面体。这种立体的对偶多面体五角十二面体,是一种由12个不等边五边形组成的十二面体,具有四面体群对称性。其与正十二面体类似,皆是由12个全等的五边形组成,且每个顶点都是3个五边形的公共顶点[11],但由于其面不是正多边形,其顶点的排布未能达到五折对称性,因此不属于正多面体。部分的化学物质或矿石[12]其晶体形状是这种形状,例如黄铁矿和部分的天然气水合物[13]。其英文名称Pyritohedron是来自黄铁矿的英文pyrite以及多面体的字尾-hedron命名的。[14]

相关多面体

扭棱立体
原像  
正四面体
 
立方体
 
正八面体
 
正十二面体
 
正二十面体
扭棱  
扭棱四面体
sr{3,3}
   
扭棱立方体
sr{4,3}
扭棱八面体
sr{3,4}
扭棱十二面体
sr{5,3}
扭棱二十面体
sr{3,5}
完全扭棱  
完全扭棱四面体
β{3,3}
 
完全扭棱立方体
β{4,3}
 
二复合二十面体
β{3,4}
 
完全扭棱十二面体
β{5,3}
 
完全扭棱二十面体
β{3,5}

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 John Baez. Fool's Gold. September 11, 2011 [2021-08-14]. (原始内容存档于2018-05-19). 
  2. ^ Symmetries Up To Three Dimensions. (原始内容存档于2021-08-14). 
  3. ^ Kappraff, J. Connections: The Geometric Bridge Between Art & Science (2nd Edition). Series On Knots And Everything. World Scientific Publishing Company. 2001: 475 [2021-08-14]. ISBN 9789814491327. (原始内容存档于2021-08-14). 
  4. ^ 4.0 4.1 Jim McNeill. Polyhedral "Twisters". orchidpalms.com. [2021-08-14]. (原始内容存档于2019-03-11). 
  5. ^ 5.0 5.1 John Baez. Who Discovered the Icosahedron?. Special Session on History and Philosophy of Mathematics, 2009 Fall Western Section Meeting of the AMS. September 11, 2009 [2021-08-14]. (原始内容存档于2020-05-29). 
  6. ^ Th. Hahn (编). Crystallographic and noncrystallographic point groups (PDF). International Tables for Crystallography: Space-group symmetry. International Tables for Crystallography 1 (Chester, England: International Union of Crystallography). 2006-10-01, A: pp. 763–795 [2021-08-14]. ISBN 9780792365907. doi:10.1107/97809553602060000100. (原始内容存档 (PDF)于2021-08-14). 
  7. ^ John Sharp. Have you seen this number?. The Mathematical Gazette. 1998-07, 82 (494): 203–214 [2021-08-16]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3620403 (英语). 
  8. ^ George W. Hart. Symmetry Planes. 1996 [2021-08-14]. (原始内容存档于2021-08-16). 
  9. ^ Børge Jessen. Orthogonal icosahedra. Nordisk Matematisk Tidskrift. 1967, 15 (2): 90–96. JSTOR 24524998. MR 0226494. 
  10. ^ Branko Grünbaum. Acoptic polyhedra (PDF). Advances in Discrete and Computational Geometry (South Hadley, MA, 1996). Contemporary Mathematics 223. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1999: 163–199 [2021-08-14]. MR 1661382. doi:10.1090/conm/223/03137. (原始内容存档 (PDF)于2021-03-31). 
  11. ^ Crystal Habit页面存档备份,存于互联网档案馆). Galleries.com. Retrieved on 2016-12-02.
  12. ^ 中村庆三郎. 朝鮮コバルト鑛床調査概報. 地学雑志 (公益社団法人 东京地学协会). 1942, 54 (6): 211––230. 
  13. ^ 天然氣水合物能替代石油嗎?. 科学人杂志 - 远流. [2021-08-14]. (原始内容存档于2021-08-16). 天然气水合物常见的两种笼状结构为五角十二面体 
  14. ^ Pyrite. stonetrust. [2019-11-04]. (原始内容存档于2019-02-23). 

外部链接