普朗歇尔定理

普朗歇尔定理(又称帕塞瓦尔-普朗歇尔恒等式[1] )是调和分析的重要定理,由米歇尔·普朗歇尔于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说,如果是实数线上的函数,并且是它的频谱,那么

或者写成范数:

数学上更严格的描述是,令函数同时属于两个L p空间 ,那么它的傅里叶变换属于, 且为中的等距变换

这代表限制在上的傅里叶变换有一个唯一的等距扩张,有时候这个扩张也被称为普朗歇尔变换。此变换同时也是幺正的,透过此变换,我们便可以好好的在平方可积函数上讨论傅里叶变换

普朗歇尔定理可以被推广到n欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上,若是满足一些其他的假设,普朗歇尔定理有另一个版本在非交换局部紧致群上成立,更多细节可以参考非交换调和分析

由于在上内积与范数是相容的,我们也可以把普朗歇尔定理应用到内积上。也就是说,如果是两个在内的函数,表示普朗歇尔变换,则

而如果属于,有以及所以

参见

参考

  1. ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics . Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0. 

外部链接