有界算子

在泛函分析此一数学分支里，有界线性算子是指在赋范向量空间X 及Y 之间的一种线性变换L，使得对所有X 内的非零向量v，L(v) 的范数与v 的范数间的比值会局限在相同的数字内。亦即，存在一些M > 0，使得对所有在X 内的v，

$\|Lv\|_{Y}\leq M\|v\|_{X}.\,\,$

其中最小的M 称为L 的算子范数。$\|L\|_{\mathrm {op} }\,$。

有界线性算子一般不会是有界函数；后者需要对所有的v，L(v)的范数是有界的，但这只有在Y 为零向量空间时才有可能。然而，有界线性算符为局部有界函数。

一个线性算子为有界的，当且仅当其为连续的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。

例子

• 任何在两个有限维度赋范空间之间线性算符皆是有界的，且此类算符可以被视为某些固定矩阵的乘积。
• 许多积分变换为有界线性算符。例如，设

$K:[a,b]\times [c,d]\to {\mathbf {R} }\,$

为一连续函数，则算符L

$(Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,\,$

（定义于由在$[a,b]\,$ 上的连续函数所组成的空间$C[a,b]\,$，赋予空间$C[c,d]\,$ 均匀范数的值）是有界的。此一算符实际上也是紧致的。紧致算符在有界算符中是很重要的一类。

• 拉普拉斯算符

$\Delta :H^{2}({\mathbf {R} }^{n})\to L^{2}({\mathbf {R} }^{n})\,$

（其定义域为索伯列夫空间，值域在由平方可积函数所组成的空间内）是有界的。

• 在由所有实数序列(x₀, x₁, x₂...)（其中$x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,$）所组成的l² 空间上的位移算符

$L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\,$

是有界的。其算符范数可轻易地看出为1。

有界和连续的等价

如开头所述，在赋范空间X 及Y间的线性算子L 是有界的，当且仅当其为连续线性算子。证明如下：

• 设L 是有界的，则对X内的所有向量v 及h（其中的h不为零），会有

$\|L(v+h)-Lv\|=\|Lh\|\leq M\|h\|\,$。

令${\mathit {h}}\,$ 趋近于零，即可证明L 在v 是连续的。甚至，因为常数M 不依赖v，可证明L 实际上是均匀连续的（更甚之，还是利普希茨连续的）。

• 反过来，在零向量的连续性，允许存在一个$\delta >0$，使得对所有X 内$\|h\|\leq \delta$ 的向量h，$\|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1$。因此，对所有'X 内的非零向量v，会有

$\|Lv\|=\left\Vert {\|v\| \over \delta }L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert ={\|v\| \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert \leq {\|v\| \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|v\|.$

这证明了L 是有界的。

参考资料

• Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989

参见

• 算子代数
• 算子理论