本构关系

电磁学里,为了要应用宏观麦克斯韦方程组,必须分别找到场与场之间,和场与场之间的关系。这些称为本构关系的物理性质,设定了束缚电荷和束缚电流对于外场的响应。它们实际地对应于,一个物质响应外场作用而产生的电极化磁化[1]:44-45

本构关系式的基础建立于场与场的定义式:

其中,是电极化强度,是磁化强度。

本构关系式的一般形式为

在解释怎样计算电极化强度与磁化强度之前,最好先检视一些特别案例。

自由空间案例

假设,在自由空间(即理想真空)里,就不用考虑介电质和磁化物质,本构关系式变得很简单:[2]:2

 
 

将这些本构关系式代入宏观麦克斯韦方程组,则得到的方程组很像微观麦克斯韦方程组,当然,在得到的高斯定律方程和麦克斯韦-安培方程内,总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果,因为,在自由空间里,没有束缚电荷、束缚电流和极化电流。

线性物质案例

对于线性各向同性物质,本构关系式也很直接:

 
 

其中, 是物质的电容率 是物质的磁导率

将这些本构关系式代入宏观麦克斯韦方程组,可以得到方程组

对于线性、各向同性物质的表述
名称 微分形式 积分形式
高斯定律    
高斯磁定律    
麦克斯韦-法拉第方程
(法拉第电磁感应定律)
   
安培定律
(含麦克斯韦加法)
   

除非这物质是均匀物质,不能从微分式或积分式内提出电容率和磁导率。通量 的方程为

 

这方程组很像微观麦克斯韦方程组,当然,在得到的高斯定律方程和麦克斯韦-安培方程内,自由空间的电容率和磁导率分别被物质的电容率和磁导率替代;还有,总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果,因为,在均匀物质内部,没有束缚电荷、束缚电流和极化电流,虽然由于不连续性,可能在表面会有面束缚电荷、面束缚电流或面极化电流。

一般案例

对于实际物质,本构关系并不是简单的线性关系,而是只能近似为简单的线性关系。从 场与 场的定义式开始,要找到本构关系式,必需先知道电极化强度和磁化强度是怎样从电场和磁场产生的。这可能是由实验得到(建立于直接测量),或由推论得到(建立于统计力学传输力学transport phenomena)或其它凝聚态物理学的理论)。所涉及的细节可能是宏观或微观的。这都要视问题的层级而定。

虽然如此,本构关系式通常仍旧可以写为

 
 

不同的是,  不再是简单常数,而是函数。例如,

 
 
  • 双耦合各向同性Bi-isotropy)或双耦合各向异性Bi-anisotropy):在双耦合各向同性物质里, 场与 场分别各向同性地耦合于 场与 [4]
 
 
其中,  是耦合常数,每一种介质的内禀常数。
在双耦合各向异性物质里, 场与 场分别各向异性地耦合于 场与 场,系数    都是张量
  • 在不同位置和时间, 场与 场分别跟 场、 场有关:这可能是因为“空间不匀性”。例如,一个磁铁的域结构异质结构液晶,或最常出现的状况是多种材料占有不同空间区域。这也可能是因为随时间而改变的物质或磁滞现象。对于这种状况, 场与 场计算为[5][2]:14
 
 
其中, 电极化率 磁化率

实际而言,在某些特别状况,一些物质性质给出的影响微乎其微,这允许物理学者的忽略。例如,在低场强度状况,光学非线性性质可以被忽略;当频率局限于狭窄带宽内时,色散不重要;对于能够穿透物质的波长,物质吸收可以被忽略;对于微波或更长波长的电磁波,有限电导率金属时常近似为具有无穷大电导率的完美金属perfect metal),形成电磁场穿透的趋肤深度为零的硬障碍。

随着材料科学的进步,材料专家可以设计出具有特定的电容率或磁导率的新材料,像光子晶体

本构关系的演算

通常而言,感受到局域场施加的洛伦兹力,介质的分子会有所响应,从相关的理论计算,可以得到这介质的本构关系式。除了洛伦兹力以外,可能还需要给出其它作用力的理论模型,像涉及晶体内部晶格振动的键作用力,将这些作用力纳入考量,一并计算。

在介质内部任意分子的位置 ,其邻近分子会被电极化和磁化,从而造成其局域场会与外场或宏观场不同。更详尽细节,请参阅克劳修斯-莫索提方程。真实介质不是连续性物质,其局域场在原子尺度的变化相当剧烈,必需经过空间平均,才能形成连续近似。

这连续近似问题时常需要某种量子力学分析,像应用于凝聚态物理学量子场论。请参阅密度泛函理论格林-库波关系式Green–Kubo relations)等等案例。物理学者研究出许多近似传输方程,例如,玻尔兹曼传输方程Boltzmann transport equation)、佛克耳-普朗克方程Fokker–Planck equation)和纳维-斯托克斯方程。这些方程已经广泛地应用于流体动力学磁流体力学超导现象等离子模型plasma modeling)等等学术领域。一整套处理这些艰难问题的物理工具已被成功地发展出来。另外,从处理像砾岩conglomerate)或叠层材料laminate)一类物质的传统方法演变出来的“均质化方法”,是建立于以“均质有效介质”来近似“非均质介质”的方法[6]。当激发波长超大于非均质性的尺度时,这方法正确无误[7][8][9]

理论得到的答案必须符合实验测量的数据。许多真实物质的连续近似性质,是靠着实验测量而得到的[10]。例如,应用椭圆偏振技术得到的薄膜的介电性质。

参考文献

  1. ^ Andrew Zangwill. Modern Electrodynamics. Cambridge University Press. 2013. ISBN 978-0-521-89697-9. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 
  3. ^ Weinberger, P. John Kerr and his Effects Found in 1877 and 1878 (PDF). Philosophical Magazine Letters. 2008, 88 (12): 897–907. Bibcode:2008PMagL..88..897W. doi:10.1080/09500830802526604. (原始内容 (PDF)存档于2011-07-18). 
  4. ^ 4.0 4.1 通常,物质都具有双耦合各向异性。TG Mackay and A Lakhtakia. Electromagnetic Anisotropy and Bianisotropy: A Field Guide. World Scientific. 2010: pp. 7–11. 
  5. ^ Halevi, Peter, Spatial dispersion in solids and plasmas, Amsterdam: North-Holland, 1992, ISBN 978-0444874054 
  6. ^ Aspnes, David E., "Local-field effects and effective-medium theory: A microscopic perspective," Am. J. Phys. 50, p. 704-709 (1982).
  7. ^ O. C. Zienkiewicz, Robert Leroy Taylor, J. Z. Zhu, Perumal Nithiarasu. The Finite Element Method Sixth. Oxford UK: Butterworth-Heinemann. 2005: 550 ff. ISBN 0750663219. 
  8. ^ N. Bakhvalov and G. Panasenko, Homogenization: Averaging Processes in Periodic Media (Kluwer: Dordrecht, 1989); V. V. Jikov, S. M. Kozlov and O. A. Oleinik, Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals (Springer: Berlin, 1994).
  9. ^ Vitaliy Lomakin, Steinberg BZ, Heyman E, & Felsen LB. Multiresolution Homogenization of Field and Network Formulations for Multiscale Laminate Dielectric Slabs (PDF). IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2003, 51 (10): 2761 ff. Bibcode:2003ITAP...51.2761L. doi:10.1109/TAP.2003.816356. (原始内容 (PDF)存档于2012-05-14). 
  10. ^ Edward D. Palik & Ghosh G, Handbook of Optical Constants of Solids, London UK: Academic Press: pp. 1114, 1998, ISBN 0125444222